应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 3.1.ppt

《应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 3.1.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、本章将应用导数的知识来研究函数的各种性态引言并利用这些知识解决一些实际问题.3.1中值定理与洛必达（L’Hospital)法则3.1.1、拉格朗日中值定理3.1.2、洛必达法则3.1.1拉格朗日中值定理一、定理和推论的引出二、案例三、进一步练习一、定理及推论的引出拉格朗日中值定理如果函数满足：(1)在闭区间上连续;(2)在开区间内可导，那么在内至少有一点，使得或（3-1）从几何上看，拉格朗日中值定理是明显的，如图3-1,，两个端点A、B的直线，移至与曲线只有一个交点处，如图中的点处.在点处的切线的斜率为，因为两

2、条直线平行，所以图3-1与线段的斜率相等，即.推论在区间上是一个常数.若函数在区间上的导数恒为零，则证明：在区间上任取两点、，不妨设、应用拉格朗日公式得由假定可知，所以，即，即在上任意两点的函数值总是相等的，故在区间上是一个常数.二、案例证明因为且所以由推论知.案例1等式的证明证明.设，求使拉格朗日公式成立的值.解，满足拉格朗日中值定理的条件，代入（3－1），得，即.常用拉格朗日中值定理证明不等式.案例2求值三、进一步练习对函数在区间上验证拉格朗日中值若在区间内有，则（为常数）.练习1[验证定理]练习2[恒等式

3、]定理.练习1.证明：显然在上连续,在可导上，.则，，又，则.练习2.，使又在上恒小于1证明：令则在上连续且可导，由拉格朗日中值定理有：存在一点<1即<1故，当时，.3.1.2洛必达法则一、定理的引出二、案例三、进一步的练习一、定理的引出定理21.“”型未定式（洛必达法则1）如果函数与满足下列条件：(1);除外）可导，且（3)存在（或为无穷大）；则(2)在点的某去心邻域内（点可以如果仍属型未定式，且这时能满足定理中所要满足的条件，那么可以继续用洛必达法则，即，依此类推.2.“”型未定式定理3（洛必达法则2）如果

4、函数与满足下列条件：(1);(2)在点的某去心邻域内（点可以除外）可;以除外）可导，且（3)存在（或为无穷大）；则.3.其它未定式对于其它型的未定式（如：“”等），求这类未定式的极限的方法，就是将未定或型未定式式经过适当的变换，将它们化为求的极限，下面用例子说明.最后，值得指出的是，本节给出的定理是求未定式的一种方法，当定理条件满足时，所求的极限）；但当定理条件不当然存在（或为满足时，不存在时（等于无穷大的情况除外），的极限仍所求极限却不一定不存在，也就是说，当极限能存在.例如，由，因不存在，所以不存在，但不能

5、说为不存在，这是因为.二、案例求.案例1型未定式解这是型未定式,由洛必达法则,可得求.解.注意:上式中已不是未定式，不能对它应导致错误结果，以后使用洛必达用洛必达法则，否则这一点，如果不是未定式，就不法则时应当经常注意能应用洛必达法则.案例2型未定式求.解案例3型未定式求.解注：定理2和定理3中改为时，洛必达法则同样有效.案例4型未定式.求.解.求.解应用洛必达法则n次，得.案例5型未定式案例6型未定式解.，而解，所以.求.求.案例8型未定式案例9型未定式解.案例7型未定式求.三、进一步练习1.用洛必达法则求下

6、列函数的极限.（3）（4）（5）（6）（7）（8）（2）（1）为任意实数)（练习1...型未定式,由洛必达法则,可得这是（1）.（2）.（3）（4）.（5）.（6）.（7）.则（8）,令=,故,.