应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 2-1.ppt

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1、恩格斯指出："数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完发的，但不是由他们发明的。"背景2.1导数的概念2.1.1导数的定义2.1.2基本初等函数的导数公式2.1.3连续与可导的关系2.1.1导数的定义一、案例二、概念和公式的引出一、案例在变速直线运动中，通常路程与时间的物体在任一时刻的瞬时速度呢？案例1[求变速直线运动的瞬时速度]函数关系容易得到,如何由s=s(t)求出案例2[曲线的切线的斜率]设曲线上有一点，求过点

2、的切线的斜率。二、概念和公式的引出定义1设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx（x+Δx仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)．如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数（微商）.函数应在点的附近有定义，否则导数不存在；函数在点处可导，亦可称函数在点处的导数存在；在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成；说明如果不存在，则称函数在点处不可导；为函数在区间上的平均变化率；而导

3、数是因变量y在点x0对于x的瞬时变化率，反映因变量y随自变量x的变化而变化的快慢程度．说明如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f'(x)，从而构成了一个新的函数f'(x)．称这个函数f'(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y'，，．即：f'(x)．定义2如果函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，极限与都存在，则上述两极限分别称为函数f(x)在点x0的右导数与左导数，分别记为f+'(x0)与f-'(x0)，即f+'(x0)=f-'(x0)=定义3函数

4、f(x)在点x0处可导的充要条件是左右导数都存在且相等．即f+'(x0)=f-'(x0)如果函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f+'(a)和f-'(b)存在，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上可导．说明2.1.2基本初等函数的导数公式一、案例二、概念和公式的引出由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数的一般方法是：（1）求函数的改变量Δy=f(x+Δx)−f(x)；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数y'＝．一、案例[用导数的定义求基本初等函数导数]解在f(x)=c中，不论x取何值，其函数值总为c，所以对应于自变量Δx的增量，有Δy=0，

5、，，即(c)'=0．二、概念和公式的引出例1求函数f(x)=c（c为常数）的导数．解即f'(a)=nan-1．得，(xn)'│x=a=nan-1，若将a视为任一点，并用x代换，即得f'(x)=(xn)'=nxn-1．例2求f(x)=xn（n为正整数）在点x=a的导数．解由于，根据sinx的连续性和可知即（cosx）'=-sinx,用类似的方法可求得（sinx）'=cosx.例3用定义求（cosx）'．解特别地，.例4求f(x)=logax（a>0，a≠0）的导数．常量和基本初等函数的求导公式称为基本求导公式．为了方便查阅，归纳如下：基本求导公式基本求

6、导公式2.1.3连续与可导的关系一、案例二、概念和公式的引出三、进一步练习一、案例[连续与可导的关系]如果函数y=f(x)在点x0处可导，则它在点x0处连续；反之，不一定成立．二、概念和公式的引出连续与可导的关系证因为y=f(x)在点x0处可导，故有故y=f(x)在点x0处连续．三、进一步练习例5解y=

7、x

8、，由函数的连续性知y=

9、x

10、在点x=0处连续．又，．,函数y=

11、x

12、在点x=0处不可导．考察函数y=

13、x

14、在点x=0处的可导性与连续性.研究例6切线与直线x-2y+2=0平行．求曲线y=lnx上一点，使过该点的解设曲线上点的切线与直线平行，由导数

15、的几何意义，得所求切线的斜率为的斜率为而直线根据两直线平行的条件，有即将代入曲线方程，得所以曲线在点的切线与直线平行．例7一汽车在刹车后时间所通过的距离（米），刹车开始时车速是多少？刹车后经过多少秒钟汽车才停止？刹车后汽车滑行了多远？时的速度为：时其速度为当速度为零时汽车才停止，即，（秒）（米）当刹车开始，即得汽车滑行的距离为解汽车刹车后