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《应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 9-2.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、9.2拉普拉斯变换及其性质在数学中，为了把较为复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用一种变换手段，拉普拉斯变换是在数学等自然科学和各种工程技术领域中都有着广泛应用的一种积分变换。我们将简要介绍它的定义、基本性质和一些简单应用。9.2拉普拉斯变换及其性质9.2.1拉普拉斯变换的基本概念9.2.2几种常用函数的拉普拉斯变换9.2.3拉普拉斯变换简表及其应用9.2.4拉普拉斯变换的性质9.2.1、拉普拉斯变换的基本概念定义设函数定义在上,若广义积分收敛,则此积分就确定了一个参数的函数,记为，即称此式为函数的拉普拉斯变换式，记。称为的拉普拉斯变换(或
2、象函数).而为的拉普拉斯逆变换(或象原函数),记为注：(1)定义中,只要求在上函数有定义,为了方便,以后总假定当时,。因为一个物理过程在时还未发生,所以这种假定是成立的；(2)对于中的参数，它可以在复数域内取值。但在这里只考虑在实数域内取值；(3)拉普拉斯变换是一种积分变换,是将给定的函数通过特定的广义积分(也叫拉普拉斯积分)转换成一个新的函数.一般说来,在工程技术中所遇到的函数,它的拉普拉斯变换总是存在的.9.2.2、几种常用函数的拉普拉斯变换1．一次函数的拉普拉斯变换2.指数函数的拉普拉斯变换3.斜坡函数的拉普拉斯变换4.三角函数的拉普拉
3、斯变换由定义可以推出正弦函数的拉普拉斯变换为同理，可以推出余弦函数的拉普拉斯变换为5．单位阶跃函数的拉普拉斯变换9.2.3拉普拉斯变换简表及其应用在求较简单函数的拉普拉斯变换的过程中,为了方便查公式,将常用函数的拉普拉斯变换列为一个简表(见表9-1).表9-1中的20个公式要求熟记,利用表9-1,就可以求一些常用函数的拉普拉斯变换了.用表9-1求拉普拉斯变换,就是将所求拉普拉斯变换的象原函数与栏中的函数式对照,找出常数和,然后将这些常数值代入栏中的象函数式,就得到了所求函数的拉普拉斯变换.序号序号1162173849510表9-1序号序号11
4、161217131814191520例1求指数函数的拉普拉斯变换.解对照表9-1中变换6的函数式,得;将代入象函数式中,得.例2求三角函数的拉普拉斯变换.解对照表9-1中变换7的函数式,得;将代入象函数式,得.9.2.4拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换有以下性质,利用这些性质,结合拉普拉斯变换简表9-1,可以求一些较为复杂函数的拉普拉斯变换.性质1[线性性质]若是常数,,则例3求函数的拉普拉斯变换.解因为所以由拉普拉斯变换的线性性可得性质2[平移性质]若,则(2)(为常数).例4求与.解由上节可知由平移性质,得例5求函数,的拉普拉斯变换.解因为
5、,所以由平移性质,有性质3[微分性质](1)对象原函数的微分性质:若,则推广到阶导数的情形,有(2)对象函数的微分性质:若,则例6求。解因为,所以由微分性质,得例7已知,求其一阶、二阶导数的拉普拉斯变换.解因为,所以由微分性质,得性质4[积分性质](1)对象原函数的积分性质:若,则(2)对象函数的积分性质:若,则例8求(是自然数）。解因为,所以由积分性质有，……一般地,有例9求。解因为,所以由积分性质,有
