应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 8-1.ppt

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1、引言级数理论是高等数学不可缺少的重要组成部分，级数是表示非初等函数的一种方法，它是研究函数的性质以及进行数值计算的重要工具．本章主要介绍数项级数、函数项级数、幂级数以及如何将某些函数展开成幂级数．第八章级数8.1数项级数8.2幂级数8.3函数展开成幂级数8.4用MATLAB求级数的和与函数的泰勒级数8.1数项级数8.1.1数项级数的概念8.1.2数项级数收敛的基本性质8.1.3正项级数敛散性判别法8.1.4一般项级数敛散性判别法8.1.1、数项级数的概念定义1给定一个数列，将它的各项顺次用“+”号连

2、接起来的表达式称为数项级数或无穷级数（经常简称为级数），其中称为数项级数的首项（或第一项），称为数项级数的通项。数项级数(1)也常写为：或简写为。定义2数项级数（1）的前n项的和，记为称为数项级数（1）的部分和。定义3如果数项级数（1）的部分和数列有极限，（为有限实数），则称级数（1）收敛，并称为数项级数（1）的和，记为设如果部分和数列没有极限，则称数项级数（1）发散．例1讨论几何级数（也称等比级数）的敛散性。解（1）当时，级数的部分和为(ⅰ)当时，有，时，级数的部分和为解（1）当时，级数的部分和为

3、此时级数收敛，其和为(ii)当时，有，级数发散.；（2）当r=1时，，，级数发散。（3）当时，由于，级数发散．综上所述，我们得到如下结论：例2讨论数项级数的敛散性．解级数的部分和为：由于，所以级数收敛，其和为1.8.1.2、数项级数收敛的基本性质由级数收敛的定义以及极限的运算法则不难验证级数具有下列基本性质：性质1若级数收敛，其和为，则级数也．收敛，且和为性质2若级数与均收敛，其和分别为和则级数也收敛，其和为。.性质3在级数中去掉、增加或改变有限项，所得的新级数与级数具有相同的敛散性．性质4在收

4、敛级数的项中任意添加括号后所得的新级数仍收敛,且其和不变．例3：讨论调和级数的敛散性．解：将此级数从第三项起，把第三项第四项两项相加，第五项到第八项（共四项）相加第九项到十六项（共八项）相加得到新级数．因为此级数的部分和由于所以，从而不存在．由于级数加括号后得到的级数发散，所以级数发散．性质5（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则一定注意：1．由此性质可知，如果或者此极限不存在，则级数发散。有。2．只是级数收敛的必要条件而不是充分条例如对于调和级数来说，，但是调和级数却是发散的．件，具体说，即使有，也

5、不能断言级数敛．收例4：判断下列数项级数是否收敛。（1）；（2）。（1）解因为不存在，所以级数发散．（2）解因为，所以级数发散．8.1.3、正项级数敛散性判别法1、正项级数收敛性的基本判别原则利用级数收敛的定义，只能判断一些部分和的极限容易求出的数项级数的敛散性，而对于那些级数部分和的极限不容易求出的数项级数，就不宜继续利用级数收敛定义来判断其敛散性了．为此，我们根据级数的结构，给出级数敛散性的判断方法．在数项级数中，若,则称为正项级数．定理1正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界．定理2（比较原则

6、）设和是两个正项级数，如果存在某个正数，对一切都有则有（i）若级数收敛，则级数收敛；(ii)若级数发散，则级数发散．例5讨论－级数的敛散性，其中为常数．解当时，发散；当时，由于，由于调和级数发散，由比较原则可知-级数发散．当时，对-级数依照下列形式添加括号构成新级数此级数的各项不大于下列级数中相对应的项此级数为公比的几何级数，它是收敛的，由比较判别法可知，当时，-级数收敛．综上所述有．注意1．今后将-级数作为比较级数，其敛散性的结论应当熟记．2．利用正项级数的比较原则判断级数敛散性的一般方法是：第一

7、步,对所给出的正项级数是收敛或者是发散作出一个初第二步,对照所作的判断去选择一个比较级数：如果判断所步判断；级数收敛，则需找一个比较级数，使，并且收敛；如果判断所给级数发散，则需找一个比较级数，使，并且发散；第三步，根据比较的结果给出级数是收敛或者是3．在高等数学中，经常用到的比较级数的有是收敛或者是发散的结论．（1）几何级数；（2）调和级数　　发散；（3）-级数．例6判断下列级数的敛散性．（1）；（2）（1）解因为又因为发散，所以由比较判别法可知级数发散（2）解因为当时,又因为收敛，所以级数收敛．

8、定理3（比值判别法）若为正项级数且，则（1）当时，级数收敛；（2）当时．级数发散；（3）当时，级数的敛散性不能确定．例7判断下列级数的敛散性．；（2）．所以当时，级数收敛，当时，级数发散．（2）解因为所以级数收敛.，（1）解因为8.1.4．一般项级数敛散性判别法上面我们介绍了正项级数的敛散性判别法，关于一般项级数的敛散性判别问题要比正项级数复杂些．下面仅介绍交错级数和某些特殊的数项级数的敛散性判别法．1．交错级数若级数的各项符号正负相间，即则称之为交错级数．交错级数是