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《应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 7-4.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四节二元函数的积分学一、二重积分的概念和性质二、直角坐标系下二重积分的计算第七章解法:类似定积分解决问题的思想:一、二重积分问题的概念和性质引例曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xOy面上的有界闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,近似,求和,取极限”1)“分割”用任意曲线网分D为n个小闭区域把曲顶柱体分为n个以2)“近似”在每个则中任取一点也代表第i个小闭区域的面积.为底面,母线平行于z轴的小曲顶柱体,它们的体积记为4)“取极限”令定义的直径为闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值3)“求和
2、”曲顶柱体的体积V为1、二重积分的概念定义:将闭区域D任意分割成n个小闭区域上任取一点并作和是定义在有界闭区域D上的有界函数,如果则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分,记作其中表示第i个小闭区域,也表示它的面积.在每个当各个小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限总存在,即积分区域被积函数被积表达式面积元素如果函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,可以证明,二重积分则必定存在.引例中曲顶柱体体积:2、二重积分的几何意义如果f(x,y)≥0,的几何意义就是以曲面z=f(x,y)为曲顶,的体积.如果f(x,y)≤0,下方,的
3、绝对值仍等于该曲顶柱体的体积,如果f(x,y)在D上有正有负,反数的代数和.则二重积分的值就等于在xOy平面上方的曲顶柱体体积值与在xOy平面下方的曲顶柱体体积值的相则二重积分以区域D为底的曲顶柱体相应的曲顶柱体在xOy平面的二重积分但二重积分的值是负的.3、二重积分的性质(α、β为常数)除边界外无公共点)性质1性质2性质3如果在有界闭区域D上则设D的面积为,则有在有界闭为D的面积,则至少存在一点使得区域D上连续,性质5性质6如果函数性质4若在D上为D的面积,则例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0
4、),而域D位从而于直线的上方,故在D上机动目录上页下页返回结束例2.判断积分的正负号.解:所以从而被积函数在积分区域内,积分区域为例3.估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D机动目录上页下页返回结束内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)1、转化面积元素：也常记作相应的二重积分也可表示为有界闭区域D,因此面积元素若用平行于坐标轴的直线网来划分那么除了包含边界点的一些小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形闭区域.任取一小闭区域则它是边长为Δx和Δy的矩形,面积为二、在直角坐标系下二重积分的计算即在
5、直角坐标系中,若积分区域D可表示为这种区域称为X型区域.其中函数在区间[a,b]上连续,X型区域的特点:穿过区域内部且平行于y轴的直线与该区域的边界的交点不多于两个;Y型区域的特点:穿过区域内部且平行于x轴的直线与该区域的边界的交点不多于两个若积分区域D可表示为其中函数在区间[c,d]上连续,这种区域称为Y型区域(1)若D为X型区域则设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续.其中函数在区间[a,b]上连续,2、化二重积分为二次积分(2)若D为Y型区域则其中函数在区间[c,d]上连续,上面定理说明:二重积分可通过求两次定积分进行计算.利用公式(1
6、)计算时,第一次计算把x看作常数,y是积分变量,第二次积分时,x是积分变量.公式(1)也称为先对y后对x的二次积分公式.公式(2)的意义与公式(1)类似,公式(2)称为先对x后对y的二次积分公式.(1)(2)说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y型区域,为计算方便,可选择积分次序,必要时还可以交换积分次序.则有(2)若积分区域较复杂,可将它分成若干X型区域或Y型区域,则例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作X型区域,则解法2.将D看作Y型区域,则例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对
7、x后对y积分,及直线则机动目录上页下页返回结束若交换积分顺序会怎样？显然计算比第一种方法麻烦，可见选取适当的积分顺序是很重要的1例4.交换二次积分的积分次序,并求其值.解:其积分区域为该二次积分对应的二重积分为D是由曲线y=x2,y=1与x=0所围成的闭区域.为交换积分次序,将D表示为例4.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.内容小结直角坐标系下将二重积分化为二次积分的方法：若积分区域为则若积分区域为则作业
