应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 5-1.ppt

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1、“无限细分，无限求和”的积分思想在古代就已经萌牙．最早可以追溯到希腊由阿基米德（Archimedes，287BC～212BC）等人提出的计算面积和体积的方法．后来也逐步得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的．直到17世纪，背景莱布尼兹和牛顿才将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系，确立微分和积分是互逆的两种运算．建立了微积分学．背景促进了微积分学的发展，并一直沿用至今．莱布尼兹创立了积分符号．这些符号进一步第一节定积分的概念一、两个实例二、定积分的概念三、定积分的

2、性质四、定积分的几何意义五、微积分基本公式一、两个实例11、曲边梯形的面积2、变速直线运动的路程曲边梯形：在直角坐标系下，由闭区间[a,b]上的连续曲线y=f(x)≥0，直线x=a，x=b与x轴围成的平面图形AabB.yxOabABx=ax=by=f(x)1、曲边梯形的面积基于这种想法，可以用一组平行于y轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割得较细，每个小曲边梯形很窄，则其高f(x)的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底，底上某点函数值为高的矩形，曲线y=f(x)是连续的，所以，当点x在区间[a,b]

3、上某处变化很小时，则相应的高f(x)也就变化不大.显然，分割越细，近似程度就越高，当无限细分时，则所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小矩形面积之和近似代替整个曲边梯形面积.(1)分割在区间[a,b]内任意插入n–1个分点：a=x0

4、,2,···,n).过每一分点作平行于y轴的直线，它们把曲边梯形分成n个小曲边梯形.根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积.a=x0x1xi-1xn=bOy=f(x)yBAxxiOyBAx(2)取近似在每个小区间[xi-1,xi](i=1,2,···,n)上取一点xi(xi-1≤xi≤xi),以f(xi)为高，xi为底作小矩形，用小矩形面积f(xi)xi近似代替相应的小曲边梯形面积Ai，即Aif(xi)xi(i=1,2,···,n).x1x2xixnxOy=f(x)yBAa=x0x1xi-1xn=bxi(4)取极限

5、当分点个数n无限增加，即(3)求和把n个小矩形面积加起来，它就是曲边梯形面积的近似值，即且小区间长度的最大值(即=max{xi})趋近于0时，上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值，设一物体作直线运动，已知速度v=v(t)是时间t的连续函数，求在时间间隔[T1,T2]上物体所经过的路程s.(1)分割在时间间隔[T1,T2]内任意插入n-1个分点：T1=t0

6、n-1,tn].这些小区间的长度分别为：ti=ti–ti–1(i=1,2,···,n).相应的路程s被分为n段小路程：si(i=1,2,···,n).2、变速直线运动的路程(2)取近似在每个小区间上任意取一点xi(ti-1≤xi≤ti),用xi点的速度v(xi)近似代替物体在小区间上的速度，用乘积v(xi)ti近似代替物体在小区间[ti-1,ti]上所经过的路程si，即siv(xi)ti(i=1,2,···,n).(3)求和(4)取极限把区间[a,b]分成n个小区间各个小区间的长度依次为在每个小区间上任取一点，作和式

7、在区间[a,b]内任意插入n-1个点，定积分设函数f(x)在区间[a,b]上连续或分段连续．二、概念和公式的引出记和S的极限称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，其中为积分符号，函数f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，区间[a,b]称为积分区间．当时，记作说明：⑴定积分是一个数.它只与积分区间和被积函数有关，而与积分变量无关.如⑵在定义中规定了，如果，则规定特别地，当时，有⑶定积分存在的充分条件是：上连续或分段连续，则在上的定积分存在（也称在上可积）若函数在下面各

8、性质中的函数都假设是可积的.性质1两个函数和（差）的定积分等于它们定积分的和（差），即三、定积分的性质可推广到有限多个函数代数和的情况．性质２被积函数的常数因子可以提到积分外面，即性质3(积分区间可加性)如果积分区间[a,b]被点c分成两个区间[a