应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 5-4.ppt

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1、第四节微元法一、案例二、概念和公式的引出三、进一步的练习一、案例[曲边梯形的面积]利用定积分的思想求解曲边梯形的面积时，“分割-取近似-求和-取极限”可概括为以下两步：将区间细分成很多小的区间，在每个小区间上第一步分割与取近似近似代替“以直代曲”，用矩形面积将所有小面积全部加起来，即取极限，当最大的小区间趋于零时，得到曲边梯形第二步求和与取极限函数f(x)在区间[a,b]内的定积分，即二、概念和公式的引出所求量U满足以下条件:(1)U是与一个变量的变化区间有关的量，且在该区间上具有可加性．为(2)在的部分区间上对应部分量的近似值可表示为，其中上的连续函数．那么就

2、可考虑用定积分来表达这个量U．写出量U的积分表达式可简化为如下步骤：根据问题的具体情况，选取一个变量（如x）第一步为积分变量，并确定它的变化区间[a,b];写出U在任一小区间[x,x+dx]上的微元dU=f(x)dx第二步以所求量U的微元f(x)dx为被积表达式，写出第三步区间[a,b]上的定积分，得微元法上述方法称为或元素法。例1[由变化率求总改变量]一般地，假设是某一量F(x)相对于自变量x的变化率，则在[x,x+dx]上，由微分与导数的关系，得微元用微元法，得到从x=a到x=b之间F(x)的总变化为三、进一步的练习第二步以r(t)dt为被积表达式，在时间段

3、例2[水箱积水]设水流到水箱的速度为r(t)L／min，问从t=0s到解第一步时间内，将水的流速近似在看作是匀速的，得水量微元t=0s到t=2s这段时间内水流入水箱的总量W为t=2s这段时间内水流入水箱的总量W是多少？定积分的进一步应用1平面图形的面积2旋转体的体积3平面曲线的弧长4变力所作的功1、平面图形的面积一、直角坐标系下面积的计算二、极坐标系下面积的计算直角坐标系下面积的计算一、直角坐标系下面积的计算二、进一步练习一、直角坐标系下面积的计算公式（1）由区间[a,b]上的连续曲线以及直线x=a、x=b围成的平面图形，如图所示，面积微元为该平面图形的面积（2

4、）由区间[a,b]上的连续曲线y=f(x)、y=g(x)以及直线x=a、x=b围成的平面图形如图所示，面积微元为该平面图形的面积（3）由左右两条曲线如图所示，面积微元为该平面图形的面积以及直线y=c、y=d围成的平面图形例3二、进一步的练习解求两抛物线所围成的图形的面积．解方程组得交点：所求图形的面积例4求曲线与直线所围成的图形的面积．解得交点：（舍去）．解方程组选取为积分变量，则思考：为积分变量，会出现什么情况？若取例5求椭圆所围成的图形的面积.椭圆的面积A是椭圆在第一象限部分的面积A1的四倍,有解椭圆的参数方程为:于是极坐标系下面积的计算一、极坐标系下面积的

5、计算二、进一步练习求曲边扇形的面积A，积分变量为，[a,b]，下面应用微元法找面积A的微元dA，任取一个子区间[,+d][a,b]，圆心角的圆扇形的面积作为面积微元，如图中斜线部分的面积.即于是一、极坐标系下面积的计算公式由曲线及两条半直线=a，=b(a

6、由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体，如图所示．它被任意一个垂直于x轴的平面所截，得到的截面为以f(x)为半径的圆，其面积为故所求旋转体的体积为(2)绕y轴旋转所成的立体的体积y=d以及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为、直线y=c、由连续曲线例7二、进一步的练习解取为积分变量，则，所求圆锥体的体积求由直线及直线和轴所围成的三角形绕轴旋转而生成的圆锥体的体积。例8计算由椭圆x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积．所成的图形绕这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆及x轴围成的图形绕x轴旋转

7、解而成的立体．于是所求旋转椭球体的体积为3、平面曲线的弧长一、弧长的计算二、进一步练习曲线y=f(x)相应于[a,b]上的任一微小区间一、弧长的计算的长度ds来近似代替，所以弧长微元(即弧微分)为所求弧长为的一小段弧的长度，可以用该曲线在点（x,f(x)）处的切线上相应的一小段若曲线由参数方程给出，其中这时弧微分为在上具有连续导数，从而所求弧长例9二、进一步的练习解计算曲线介于与之间的一段弧的长度弧微分所求弧长例10解计算摆线的一拱的长度弧微分则所求弧长为4变力所做的功一、功的计算二、进一步练习由物理学知道，物体受常力F作用沿力的方向移动一、功的计算如果作直线运

8、动的物体在运动过程中所受