应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 4-1不定积分.ppt

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1、数学中有许多运算是互逆的，如加法与减法，乘法与除法，乘方与开方，指数运算与对数运算等.本章我们讨论导数运算的逆运算—不定积分运算.求不定积分是积分学的基本问题之一.前言4.1不定积分的概念与性质4.1.1不定积分的概念4.1.2不定积分的几何意义4.1.3不定积分的性质4.1.4基本积分公式4.1.5不定积分的运算法则4.1.1不定积分的概念一、案例二、概念和定理的引出三、进一步的练习一、案例案例1已知某产品的边际成本函数为,其中是产量数，已知固定成本为2单位，求此产品的成本函数.产品的成本函数是：案例2已知自由落

2、体的运动速度（为下落的时间，为重力加速度），求自由落体的运动规律.自由落体的运动规律为：二、概念和定理的引出原函数定义1设函数是定义在某区间，则称为在区间上的一个原函数.或,使得上的已知函数，若存在函数原函数的两个定理定理1（原函数族定理）如果是的一个原函数，由定理1可知，要求函数的全体原函数，只要找到它的一个原函数，然后再加上任意常数即可.数.为任意常是那么的全体原函数，其中定理2（原函数存在定理）如果函数在某区间上连续，那么在该区间上存在原函数.由于初等函数在其定义区间上连续，因此，初等函数在其定义区间上存在原

3、函数.不定积分的概念定义2如果是在某个区间上的一个原函数，则的全体原函数（为任意常数）在该区间上的不定积分，记为称为其中“”称为积分号，称为被积函数，即称为被积表达式，称为积分变量，称为积分常数.由定义知，求的不定积分，只需求出的一个原函数，而不是不定积分.时，切记“”，否则求出的只是意，求即可.但要注的任意一个原函数，再加上任意常数三、进一步的练习练习1求下列不定积分：（1）；（2）；（3）解（1）因为，即是的一个原函数，所以.（2）因为，即是的一个原函数，所以当时，也有（3）因为当时，有即是的一个原函数.所以.

4、求原函数或不定积分的运算叫做积分法.4.1.2不定积分的几何意义一、案例二、几何意义一、案例的切线的斜率为该点横坐标的两倍，求该曲线的方程.案例3已知一曲线经过原点,且在任一点所求曲线方程是二不定积分几何意义一般地，函数的一个原函数的图像叫表示的是一族曲线，我们称这个曲线族为的积分曲线族.这就是不定积分的几何意义.的一条积分曲线.对于任意常数做函数，性质1或性质2或此式表明，先求导数（或微分）再积分，得到的是.此式表明，先求积分再求导数（或微分），两种运算的作用相互抵消.由此性质可知，“积分运算”与“微分运算”是一

5、对互逆的运算..4.1.3不定积分的性质一族函数，不是一个函数，必须加上任意常数4.1.4基本积分公式：一、基本公式二、进一步练习序号1234567一、基本公式8910111213二、进一步练习练习1[求下列不定积分]（1）（2）（3）(4)解（1）（2）（3）（4）注：例（2）、（3）的结果经常用到，因此，为了计算的方便，我们也把它们作为公式：14154.1.5不定积分的运算法则一、运算法则二、进一步的练习法则1被积函数中不为零的常数因子可以提到不定积分符号外面来，即法则2两个函数代数和的不定积分等于两个函数的不

6、定积分的代数和，即注：此法则中的两个函数可以推广到任意有限多个函数.即：不定积分的运算法则二、进一步练习练习3[求不定积分]解注：（2）检验结果是否正确，只要将结果求导，看它的导数是否等于被积函数.(1)在分项积分后,每个不定积分的结果都应有一个任意常数,但任意常数的和仍是任意常数，因此，最后结果只要写一个任意常数即可.（3）当被积函数是1时，可省略不写.