应用高等数学电子教案 教学课件 ppt 作者 曾庆柏 2-4.ppt

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1、2·4微分案例研究案例2.4金属薄片的面积：一块正方形的金属薄片(如图)，因受温度的影响,其边长由x变到问此薄片的面积y改变了多少?分析（1）它是的线性函数；（2）即它是当时的无穷小.但它比的速度快，事实上有这时我们称是的高阶无穷小，记作于是很小时，高阶无穷小部分可以略去不计，近似地有的线性函数，为我们解决问题提供了极大方便，有必要抽象出来进行专门研究，这就是所谓的微分问题归纳抽象微分的定义定义设函数在点x及其左右近旁有定义.若函数的增量可表示为其中是x的函数，而与无关，是比高阶的无穷小，则称函数在点x处可微

2、，并称为函数在点x的微分，记作即可导与可微的关系问：如果函数在一点可微，那么它在该点可导吗？分析设函数在点x处可微，则有取极限，得结论若函数在点x处可微，则它在点x处可导，且问：如果函数在一点可导，那么它在该点可微吗？分析若函数在点x处可导，则因此，是无穷小.于是与无关，所以函数在点x处可微.结论函数在点x处可导，则它在点x处可微.定理函数在点x处可微的必要充分条件是函数在点x处可导，且当在点x处可微时，其微分一定是例函数的微分是讨论：（1）当x变化时，微分的值变化吗？（2）当变化时，微分的值变化吗？例1求函

3、数时的增量及微分.解问：若用微分代替增量，误差是多少？问：自变量的微分是多少？函数有规定，自变量的微分于是从而结论：函数的导数等于函数的微分dy与自变量的微分dx的商.因此，导数也叫做微商.综上，可导与可微是等价的.即我们把求导数和求微分的方法统称为微分法.导数与微分的一种直观理解导数反映了函数的变化率，微分反映了自变量微小变化时函数的改变量.若把中的字母d看作是表示“当…的极小的差”，则符号就提示我们，导数是比值的极限.因此，借用这个符号，可以揭示导数产生的背景.另外利用这个符号，还可以确定导数的单位：变量

4、y的单位除以变量x的单位，就是导数的单位.例如，符号是距离的微分ds除以时间的微分dt，它表示速度；符号是纵坐标的微分dy除以横坐标的微分dx，它表示斜率.例2求函数的微分．解微分的几何意义如图，在曲线上取一点作切线则切线的斜率为结论：函数的微分等于曲线在点处的切线的纵坐标的增量．以直代曲：很小时，因此，在点M的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段1．微分公式与微分运算法则１．微分基本公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)２．函数和、差

5、、积、商的微分法则(1)(2)(3)(4)其中都是x的函数,C为常数．证（2）因为所以又因为所以类似地，可证明其他法则.3．复合函数的微分法则设复合函数则由于所以上式又可写成结论无论u是自变量还是中间变量，其微分都可以表示为这一性质称为微分形式不变性.例3解法一利用微分的定义，得解法二利用微分形式不变性，得微分在近似计算中的应用１．利用微分计算函数增量的近似值由微分的概念可知，当很小时，有利用上述公式，可求函数增量的近似值.例4有一批半径为１cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀一层铜，厚度为0.01cm．试估

6、计每只球需用多少克铜（铜的密度为8.9g/cm3）?解要求铜的质量，应先求出镀层的体积．因为镀层的体积等于两个球体积之差，所以它就是球体体积时的增量因为所以（cm3）.于是，镀每只球需用的铜约为（g）.2．利用微分计算函数的近似值很小时，由得利用上述公式，可以求函数在附近的近似值．例5求的近似值．解因为所以，利用近似公式得在公式中，若于是，很小时，有利用上述公式，可求函数在x=0附近的近似值.例6很小时，证明证令则代入公式得例770规则：若一笔钱存入银行的年复利为则当i%很小时，需要70/i年可以翻倍.例如，

7、若年利率为7%，则10后的本利和就是最初存款的两倍.试证明之.解设原有钱P元，t年后银行存款的本利和为B元，则将代入，得取对数，得解方程，并注意到近似公式得小结：1．微分的定义：2．可微与可导的关系：可导可微；3．微分几何意义；4．微分的基本公式与运算法则；5．微分的应用：（1）求函数的增量的近似值；（2）求函数的近似值.