应用高等数学 教学课件 ppt 作者 胡桐春ppt 5.2.2 随机变量的数字特征.ppt

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1、5.2.2随机变量的数字特征1分布函数能完整地描述r.v.的统计特性,但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道r.v.的某些特征.判断棉花质量时,既看纤维的平均长度平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好;又要看纤维长度与平均长度的偏离程度例如：2考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.由上面例子看到，与r.v.有关的某些数值，虽不能完整地描述r.v.但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.3r.v.的平均取值——数学期望r.v.取值平均偏离均值的情况——

2、方差描述两r.v.间的某种关系的数——协方差与相关系数内容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写4随机变量的数学期望加权平均初赛复赛决赛总成绩算术平均甲乙9085532287688805722575胜者甲甲乙甲甲3:3:42:3:52:2:673.770.066.873.270.167.8甲乙乙引例学生甲乙参加数学竞赛,观察其胜负5为这3个数字的加权平均称数学期望的概念源于此.6设X为离散r.v.其分布为若无穷级数其和为X的数学期望记作E(X),即数学期望的定义:绝对收敛,则称7设连续r.v.X的d.f.为若广义积分绝对收敛,则称此积分为X的数学期望记

3、作E(X),即数学期望的本质——加权平均它是一个数,不再是r.v.8例1X~B(n,p),求E(X).解特例若Y~B(1,p),则E(Y)9例2X~N(,2),求E(X).解10常见r.v.的数学期望分布期望概率分布参数为p的0-1分布pB(n,p)np11分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)12E(C)=CE(aX)=aE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).若存在数a使P(Xa)=1,则E(X)a；若存在数b使P(Xb)=1,则E(X)b.数学期望的性质常数13例3将

4、4个不同色的球随机放入4个盒子中,每盒容纳球数无限,求空盒子数的数学期望.解一设X为空盒子数,则X的概率分布为XP012314解二再引入Xi,i=1,2,3,4XiP1015由数学期望性质X,Y独立16数学期望的应用17据统计65岁的人在10年内正常死亡解应用1的概率为0.98,因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳保险费100元.若10年内因事故死亡公司赔偿a元,应如何定a,才能使公司可期望获益;若有1000人投保,公司期望总获益多少?设Xi表示公司从第i个投保者身上所得的收益,i=1~1000.则Xi~0.980.0210

5、010018由题设公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.公司期望总收益为若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望总获益40000元.19为普查某种疾病,n个人需验血.验血方案有如下两种：分别化验每个人的血,共需化验n次；分组化验,k个人的血混在一起化验,若结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则对k个人的血逐个化验,找出有病者,此时k个人的血需化验k+1次.设每人血液化验呈阳性的概率为p,且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择应用220解只须计算方案(2)所需化验次数的期望.为简单计,不妨设n是k的倍数，共分成n/k组.设第

6、i组需化验的次数为Xi,则XiP1k+121若则E(X)

7、.3,乙=8.3方差有五个不同数有四个不同数26再比较稳定程度甲：乙：乙比甲技术稳定，故乙技术较好.27进一步比较平均偏离平均值的程度甲乙E[X-E(X)]228若E[X-E(X)]2存在,则称其为随机称为X的均方差或标准差.方差概念定义即D(X)=E[X-E(X)]2变量X的方差,记为D(X)或Var(X)两者量纲相同D(X)——描述r.v.X的取值偏离平均值的平均偏离程度——数29若X为离散型r.v.，分布律为若X为连续型r.v.，概率密度为f(x)计算方差的常用公式：30D(C)=0D(aX)=a2D(X)D(aX+b)=a2D(X)特别地，若X,Y

8、相互独立，则方差的性质31若相互独立，为常数则若X,Y相互独立对任