应用高等数学 教学课件 ppt 作者 胡桐春ppt 6.2 拉普拉斯变换.ppt

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1、拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换的基本概念二、拉普拉斯变换的基本性质三、拉普拉斯逆变换四、拉普拉斯变换的应用举例[引例6.3]弹簧的机械振动有一个弹簧，它的上端固定.质量为m的物体挂在弹簧上，弹簧的弹性系数为k，取物体的平衡位置为坐标原点O，x取轴铅直向下.给物体一个离开平衡位置冲击力，那么物体便在平衡位置附近作上下振动,在振动过程中,物体的位置x随时间t变化,即x是t的函数.这个函数反映了物体的运动规律.问:该物体的运动规律怎样？一、拉普拉斯变换的基本概念分析：要求物体的运动规律,首先要建立描述物体离开平衡位置的位移的数学模型.根据胡克定律,物体离开平衡位置的位移满足的微分

2、方程为：且解此线性微分方程满足初始条件的解即得物体的运动规律.[引例6.4]R-C电路的电磁振荡下图是R-C串联电路图，其中电阻，电容，电源电动势，.当开关K合上后，电路中有电流通过.现在我们来研究电容器两极板间电压随时间t的变化规律.分析：根据回路电压定律，有由于从而可以求得电压满足的微分方程：解此线性微分方程，即可知电容器两极板间电压随时间t的变化规律.从上述两个实际问题可以看到，弹簧的机械振动，多个动态元件电路的电磁振荡的数学模型可以用一个线性微分方程来描述.若反映事物运动的数学模型可以用一个线性微分方程来描述，这样的物理系统称为线性系统.线性系统在工程技术与科学领

3、域的研究中，占有很重要的地位.对线性系统进行研究和分析，就应该求出线性微分方程满足初始条件的解.当然可以用常规方法求出线性微分方程满足初始条件的解，但方法比较复杂.人们在寻找微分方程的一种简捷的求解方法时，采用了将问题进行变换的思想方法,从而产生了拉普拉斯变换.拉普拉斯变换是一种积分变换，能把微积分运算转化为代数运算，因而使常系数线性微分方程变换为代数方程.于是在寻求常系数线性微分方程(组)的特解时,无须按常规先求通解,然后再求特解,只要借助于变换表即可求出特解.从而使计算简化.拉普拉斯变换还具有特殊的物理意义，因而在许多领域被广泛的应用．下面就拉普拉斯变换的一些概念，基

4、本性质及几个常用的拉普拉斯变换作一简略介绍.定义6.2如果在上有定义的函数f(t)使积分对于已给的一些实数s存在，则此积分就确定了一个参数为s的函数，记为F(s)函数F(s)称为f(t)的拉普拉斯(Laplacs)变换(简称为拉氏变换，或称为f(t)的象函数)，以上公式简称为拉氏变换式，用记号L[f(t)]表示，即[说明](1)在物理、力学和工程上的问题，都是在某一时刻起进行分析讨论，也就是以开始瞬间进行分析讨论.因此，在拉普拉斯变换定义中，只要求函数当时有定义，並假定在时，.(2)拉普拉斯变换是将给定的函数经过广义积分变换成新的一个函数，一般说来，在实际中遇到的函数，它

5、的拉普拉斯变换总是存在的.例1解这个积分当s>a时收敛，此时求的拉氏变换.例2求函数f(t)=sinkt的拉氏变换.解:例3求狄拉克（Dirac）函数的拉氏变换．解即二、拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质对于函数和，任意常数和，若和存在，则有关系式例4求函数的拉普拉斯变换.由线性性质可得解：2.平移性质若则例5求解：因为由平移性质可得这个性质表明,象原函数乘以等于其象函数作位移a，因此这个性质称为平移性质.3.延滞性质若则这个性质表明,函数表示函数在时间上滞后a个单位(如图),因此这个性质称为延滞性质.延滞性质也表示为4.微分性质若则特别当时，有证：此性质可推广到n阶导数

6、,特别当初始值就有（n为自然数）[说明]对原函数的微分运算,通过拉普拉斯变换便化为用s乘它的象函数的乘运算,拉拉斯变换的微分性质使我们可以把的常系数微分方程转化为的代数方程，因此它在解微分方程中起着重要的作用.拉普拉斯变换有一系列性质，在这里我们只介绍了几个简单而基本的普拉斯变换的性质.例6求函数的拉普拉斯变换(n为自然数).解：又5.积分性质若并且连续，则证：设显然，即积分性质表明：一个函数积分后再取拉普拉斯变换，等于这个函数的象函数除以参数s.为方便应用起见，现将求解常系数线性微分方程的初值问题时经常遇到的拉普拉斯变换列成一简表如下.表6-1常用函数的拉普拉斯变换表序

7、号原函数象函数1234567891011121314151617181920三、拉普拉斯逆变换在运用拉普拉斯变换求解常系数线性方程时，我们要碰到如何根据已知象函数去求它的原函数问题，也就是要讨论拉普拉斯逆变换问题.拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换是一一对应的，对于常用的象函数的求取可以通过查本书的拉普拉斯变换表求得结果.对一些象函数不能直接利用拉普拉斯变换表求得逆变换时，要结合使用拉普拉斯逆变换性质,为此，把常用的拉普拉斯变换的几个主要性质用逆变换形式列出.拉普拉斯逆变换的主要性质1.线性性质2..平移性质3.延滞性质例7求下列象