应用高等数学 教学课件 ppt 作者 胡桐春ppt 3.4 常微分方程.ppt

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1、常微分方程一、微分方程的基本概念二、可分离变量的微分方程三、一阶线性微分方程四、二阶常系数线性微分方程一、微分方程的基本概念[引例3.12]设曲线过点(1,2)，且曲线上任一点处切线的斜率是该点横坐标的倒数，求此曲线方程．分析：设曲线方程为，于是曲线在点处切线的斜率为．根据题意有两边同时积分，得又因此所求曲线方程为．[引例3.13]一质量为的质点m，从高处只受重力作用从静止状态自由下落，求其运动方程．分析：坐标原点取在质点开始下落点,y轴铅直向下．设在时刻t质点的位置为,由牛顿第二定律，得质点满足的方

2、程为即两边同时积分，得再次两边同时积分，得又因为函数满足下列条件:解得上面两个引例，尽管实际意义不同，但解决问题的方法，都是归结为首先建立一个含有未知函数的导数(或微分)的关系式，然后通过此关系式，求出满足所给附加条件的未知函数．定义3.6含有未知函数的导数(或微分)的等式,称为微分方程．常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程；偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程．微分方程的阶：未知函数的导数(或微分)的最高阶数.微分方程的解：满足微分方程的函数.特解：满足微分方程且不含任意常数的函数.通解：满

3、足n阶微分方程且含n个独立任意常数的函数.初始条件：当自变量取某值时，未知函数及其导数取特定的值.初值问题：带有初始条件的微分方程问题．【相关概念】二、可分离变量的微分方程形如的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程．一般解题思路：（方程的通解）例1求微分方程的通解.解：分离变量后得两端分别积分得解得此即为原微分方程的通解．例2求满足的特解．解：将微分方程分离变量后得两端分别积分所以通解为故所求特解为例3求微分方程的通解．解：原方程变形为令则所以分离变量，得两端积分，得即将回代，得原方程的通解例3求微分

4、方程的通解．解：原方程变形为令则所以一般地，如果一阶微分方程中的函数可化为，则称此方程为齐次方程．齐次方程可利用分离变量法求解．三、一阶线性微分方程形如的微分方程称为一阶线性微分方程．例4求微分方程的通解．解：方程两端都乘以x，原方程就变成等式两端同时积分，得所以原方程的通解为即积分因子对于微分方程在方程的两端乘上积分因子方程的左端变为而右端变为两端同时积分得即这就是一阶线性微分方程的通解公式．例5求微分方程的通解．解：这里取所以原微分方程的通解为例6设某跳伞运动员质量为m，降落伞张开后降落时所受的空

5、气阻力与速度成正比，开始降落时速度为零，求降落伞的降落速度与时间的函数关系．解：设降落伞的降落速度为，降落时所受外力为（k为比例系数）且（a为加速度）则可得微分方程：即将初始条件代入得.因此所求函数关系为四、二阶常系数线性微分方程形如的微分方程，其中p、q为常数，称为二阶常系数线性非齐次微分方程，简称二阶常系数线性非齐次方程．形如的微分方程，叫做二阶常系数线性齐次方程．1.线性微分方程解的结构定理3.3（1）如果是线性齐次微分方程的解，则对于任意常数C，也是该方程的解．（2）如果和都是线性齐次微分方程

6、的解，则也是该方程的解．如果，则称和线性相关，否则，和线性无关定理3.4如果和是线性齐次微分方程的两个线性无关解，则该方程的通解为线性组合定理3.5如果是二阶常系数线性非齐次方程+qy=f(x)的一个特解，是二阶常系数线性齐次方程的通解，则非齐次微分方程的通解为．定理3.6设二阶常系数线性非齐次微分方程为且与分别是和的特解，则是方程的特解．2.二阶常系数线性齐次方程我们把方程称为方程的特征方程，设它的两根为和，则（1）当实数时，方程的通解为（2）当实数时，方程的通解为（3）当实数时，方程的通解为例7求

7、微分方程的通解．解：特征方程为，解得故微分方程的通解为例8求微分方程的通解．解：特征方程为，解得故微分方程的通解为例9求微分方程的通解．解：特征方程为，解得故微分方程的通解为3.二阶常系数线性非齐次微分方程的解法由定理3.5知道，二阶常系数线性非齐次方程的通解是对应的齐次方程的通解与其自身的一个特解之和．而求二阶常系数线性齐次方程的通解问题已经解决，所以求线性非齐次方程的通解的关键在于求其一个特解．下面介绍方程中取两种常见形式时求的方法．这种方法的特点是不用积分就可以求出来，它叫做待定系数法．（1）型

8、设二阶常系数线性非齐次方程为其中为x的m次多项式．不难验证，它的特解为，其中与是同次多项式．①若λ不是对应齐次方程的特征方程的特征根，k=0；②若λ是特征根且为单根，k=1；③若λ是特征根且为重根，k=2．例10求方程的特解．解：是型，且，．对应齐次方程的特征方程的根为所以不是特征方程的根，令代入原方程，得比较系数，得故所求特解为例11求方程的一个通解．解：特征方程为，解得，．则对应齐次方程的通解为已知，，由于是特征方程的单根，故令代入原方程，解得于是所