应用高等数学 教学课件 ppt 作者 胡桐春ppt 4.1.1 行列式.ppt

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1、第4章线性代数及其应用行列式§4.1.1一、行列式的定义四、克莱姆法则三、行列式的计算二、行列式的性质即为二阶行列式[实质]：行列式是一个算式！一、行列式的定义主对角线次对角线对角线法则二阶行列式的计算如，若记对于二元线性方程组系数行列式则二元线性方程组的解为令例1解二元一次方程组解：定义记（2）式称为数表（1）所确定的三阶行列式.2、三阶行列式其中表示行列式第i行、第j列的元素对角线法则主对角线及其方向上(红线)三元素的乘积冠以正号，次对角线及其方向上(蓝线)三元素的乘积冠以负号．说明：1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列

2、式．2．三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.例如,如果三元线性方程组的系数行列式利用三阶行列式求解三元线性方程组则三元线性方程组的解为:例2解线性方程组解由于方程组的系数行列式同理可得故方程组的解为:3、n阶行列式定义称为n阶行列式.余子式与代数余子式在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如例3写出四阶行列式的元素的余子式和代数余子式.解:n阶行列式的计算其中，（按第一行展开求和）按第一行展开，得解：例

3、4计算行列式例5计算行列式解：定理n阶行列式等于它的任意一行（或列）的每一个元素与其对应的代数余子式乘积的和．也就是说我们可以按任意行（或列）展开行列式．例6计算行列式解：按第二行展开，得原则上：哪行(列)零元素多就按哪行展开.三角形行列式主对角线下方或上方的元素全为零的行列式,分别称为上三角形行列式和下三角形行列式.三角形行列式的值等于主对角线上所有元素之积.即[特性]:二、行列式的性质(选学)性质1行列式与它的转置行列式相等.行列式D的行与列的顺序互换表明:行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列

4、也同样成立.性质2交换行列式的任意两行(列)的位置，行列式仅改变符号.例如，推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明：互换相同的两行，有性质3行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明：性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．即例7利用行列式的性质计算：解：例7利用行列式的性质计算：解：把第三

5、行加到第二行上为简明起见，在以后的计算中规定用圆括号内数字表示行的位置；用圆内数字表示列的位置；符号“”表示行（列）的互换．例如，④③表示第四列减去第三列的倍.例7利用行列式的性质计算：解：把第三行加到第二行上为简明起见，在以后的计算中规定用圆括号内数字表示行的位置；用圆内数字表示列的位置；符号“”表示行（列）的互换．例如，④③表示第四列减去第三列的倍.（2）+（3）三、行列式的计算法一：利用代数余子式计算：选择零元素最多的行（列），按这一行（列）展开；法二：利用行列式性质，将行列式逐步化为三角形行列式再计算．例８计算行列式

6、：解：(2)-(1)(4)+5(1)(2)(3)①②(3)+4(2)(4)-8(2)例９计算行列式：降阶法：先利用性质把某一（列）的元素化为仅有一个非零元素，然后按这一行（列）展开．解：①－2②④+①按第二行展开②+①③+①按第二行展开四、克莱姆法则设有n个未知数n个方程组成的线性方程组的系数行列式不等于零，即其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为说明：2.克莱姆法则的两条结论1.克莱姆法则的三个条件（1）待解的方程组是线性方程组；（2）待解

7、方程组未知数的个数与方程组的个数相等；（3）待解的方程组的系数行列式不等于零.（1）待解的方程组有惟一解；（2）它的解是例10用克莱姆法则解方程组解：方程组的系数行列式同理可得：齐次线性方程组的相关定理设线性方程组则称此方程组为非齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.概念：定理如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组没有非零解（仅有零解）.定理如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.例题11判断线性方程组是否有非零解.解:因为方程组的系数行列式所以方程组没有非零解.例题12当k取什么值时，线性方程组

8、有非零解.解:方程组的系数行列式为根据题意，有七、小结（本节要点）一、微分的定义；二、微分的求法；三、微分形式的不变性；四、微分的几何意义；五、微分在近似计算中的应用．八、课堂练习练习题2.5作业练习册第4章练习一