应用高等数学 教学课件 ppt 作者 胡桐春ppt 3.2.3 定积分的应用.ppt

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1、定积分实质上是一种特殊形式的极限，是对实际量的无限细分后再无限累加，无限就是极限，无限细分就是微分，无限累加就是积分．定积分对于解决一类非均匀分布的量的累加问题很有效，因此它被广泛运用于天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学的各个分支中，如求不规则图形的面积或几何体体积、产品产量或利润、变速直线运动的路程、物体所作的功、液体的静压力、平均数、概率等问题．定积分的应用定积分的应用一、微元法的基本思想二、利用定积分求平面图形的面积三、利用定积分求旋转体的体积四、定积分在经济学中的应用五、定积分在物理学中的应用[

2、引例3.10]修建一道梯形闸门，它的两条底边长分别为6m和4m，高为6m，较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.分析：建立右图所示的坐标系，AB的方程为取x为积分变量，在上任取一子区间，当dx很小时，在该微区间上阀门所受水的微压力是：从而所求的压力为一、微元法的基本思想如图所示的曲边梯形的面积A是定积分，而这个积分的被积表达式，正好是区间上的任一子区间上以为高、以dx为底的小矩形的面积，这个小矩形的面积等于或近似等于区间[x，x+dx]上的小曲边梯形的面积．当时，有，其中是dx的高阶无穷小量，根据微分的定义有，从而得到曲边梯形的

3、面积因此求曲边梯形面积A的方法是：第一步，在[a，b]上任取一形式子区间[x，x+dx]（其中dx为x的微元，即无限细分），并求出面积A的微分dA=f(x)dx，即面积微元；第二步，以微分表达式f(x)dx为被积表达式，在[a，b]上作定积分，即对面积微元进行无限累加求和．像上述这种处理问题和解决问题的方法，我们称之为微元法．微元法使用起来非常方便，在解决实际问题中有极为广泛的应用．一、微元法的基本思想二、利用定积分求平面图形的面积例1求由抛物线与曲线所围成的图形面积．解：联立解得交点（0,0）和（1,1）.在关于x的区间[0,1]上任取一

4、子区间[x，x+dx]，得面积微元为于是所求图形的面积为二、利用定积分求平面图形的面积若函数f(x)、g(x)在[a,b]上连续，且f(x)≥g(x)，则由曲线y=f(x)、y=g(x)及直线x=a，x=b所围成的平面图形的面积为yxabOxy=f(x)x+dxy=g(x)例2求y=sinx，y=cosx，所围成的平面图形的面积.y=cosxxOy=sinx1y解：例3求出抛物线y2=2x与直线y=x–4所围成的平面图形的面积.xAB-24yy=x-4y2=2x(8,4)(2,-2)若函数、在[c,d]上连续，且，则由曲线、及直线y=c，y

5、=d所围成的平面图形的面积为结论：例3求出抛物线y2=2x与直线y=x–4所围成的平面图形的面积.解如图，解方程组得交点A(2,-2)和B(8,4).xAB-24yy=x-4y2=2x(8,4)(2,-2)例4求椭圆的面积．解：如图，先求出椭圆在第一象限内的面积，它是由与x轴、y轴所围成的面积.令则三、利用定积分求旋转体的体积一般地，由曲线与直线x=a，x=b及y=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周而生成的旋转体的体积为类似地，由曲线与直线y=c，y=d及x=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周而生成的旋转体的体积为例5求由抛物线与直线x=1，y

6、=0所围成的图形，分别绕x轴和y轴旋转所产生的旋转体的体积．解：如图所示，联立得交点是（1，2），所以绕x轴旋转的体积为类似地，有绕y轴旋转的体积为四、定积分在经济学中的应用例6设某产品在时刻t的总产量的变化率是f(x)（单位：t/h），求该产品在时间区间[2，4]内的总产量．解：设总产量为，由题意有，例7已知某产品的边际成本和边际收入都是产量x的函数，它们分别是（万元/吨）和（万元/吨）．解：（1）求产量由10吨增加到50吨时，总成本与总收入各增加多少？当产量由10吨增加到50吨时，总成本增加总收入增加（万元）（万元）例7已知某产品的边际

7、成本和边际收入都是产量x的函数，它们分别是（万元/吨）和（万元/吨）．（2）设固定成本为10万元，问产量为多少时，总利润最大？最大总利润是多少？解：总成本函数为总收入函数为因此总利润函数为令得惟一驻点.（万元）五、定积分在物理学中的应用例8一变速运动的物体的速度为，初始位置是，求物体在前2s内所经过的路程及2s末所在的位置．解：当时，，当时，，所以前2s内所经过的路程为而末所在的位置为：例9一列车以速度行驶，当制动时列车获得的加速度是，问列车应在进站前什么时候、距离车站多远的地方开始制动？解：因为列车进站停车时的速度为，即解得即列车应该在进

8、站前75s开始制动.列车从开始制动到进站停车时所经过的路程是例10已知把一弹簧拉长0.02m要用力9.8N，求把该弹簧拉长0.1m所作的功．弹簧所用的力F和弹簧的伸长量x成正比，