应用高等数学电子教案 教学课件 ppt 作者 曾庆柏 6-2.ppt

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1、6·2偏导数与全微分案例研究案例6.2柯布—道格拉斯生产函数：应用柯布—道格拉斯生产函数得到的水稻生产函数模型为其中Q为水稻的纯收入，x为水稻种植面积，y投入劳动力日数.（1）当时，求Q关于x的变化率，并分析其经济意义；（2）当时，求Q关于y的变化率，并分析其经济意义.分析（1）将代入函数中，得因为所以水稻纯收入随水稻种植面积的增加是上升的.（2）将代入函数中，得因为所以水稻纯收入随劳动投入量的增加是下降的.抽象归纳偏导数的概念定义设函数在的周围邻近有定义，当y固定在y0而x有增量Δx时，相应地函数有偏增量若极限存在，则称此极限为函数在点处对x的偏导数，记作或若极限存在

2、，则称此极限值为函数在点P0(x0,y0)对y的偏导数，记作或若函数在平面区域D内每一点的偏导数都存在，则称函数f(x,y)在D内偏导数存在.函数在点处对自变量x的偏导数记作对自变量y的偏导数记作讨论偏导数与一元函数的导数有何关系？例1已知求并求解例2求函数的偏导数.解*偏导数的经济意义边际需求设有甲、乙两种相关商品，它们的价格分别为、需求量分别为、需求函数可表示为则需求量和关于价格和的偏导数，表示甲、乙两种商品的边际需求.弹性当价格不变而发生变化时，需求量和将随变化而变化，需求量和对价格的弹性分别为称为甲商品需求量对自身价格的直接价格偏弹性，称甲商品需求量对相关价格的

3、交叉价格偏弹性.例3已知某商品的需求量是该商品价格和另一相关商品价格的函数，求当时需求的直接价格偏弹性及交叉价格偏弹性解当时，且所以高阶偏导数定义若函数的偏函数导数关于的偏导数仍然存在，则称它们的偏导数是的二阶偏导数，分别记作其中称为二阶混合偏导数.类似地，可以定义三阶、四阶、…n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而称为函数的一阶偏导数.例4求的二阶偏导数.解讨论：上例中两个混合偏导数相等吗？根据这个结果，你有什么猜想？例5已知求解全微分回忆：一元函数微分的定义——若函数在x处的增量可以表示成其中是的高阶无穷小，则称为函数在x处的微分，记作即.并且有引例面

4、积z的增量（1）是的线性函数；（2）是比高阶的无穷小.因此，当都较小时，有且有微分的定义若二元函数在点处的增量可以表示为其中A、B是x、y的函数，与无关，是一个比较高阶的无穷小，则称是函数在点处的全微分，记作即这时，也称函数在点处可微.全微分与偏导数的关系若函数在处可微，则(1)式对任意的都成立.所以当时(此时)，由定义有两端除以并令取极限，得即同理得若记则注意在一元函数中，可导与可微是等价的，但这个结论对二元函数不成立，即都存在，也不能保证函数在点可微.不过可以证明：若函数在点的某一邻域内有连续的偏导数则在点可微.例7求函数的全微分.解因为所以全微分的应用若函数在点可

5、微，则当自变量的增量和很小时，有下述近似计算公式或例8计算的近似值.解设所以，得小结：1．偏导数的概念：2．高阶偏导数：3．全微分：