应用高等数学电子教案 教学课件 ppt 作者 曾庆柏 5-5.ppt

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1、5·5定积分的应用案例研究案例5.5游泳池的表面面积：一个工程师用CAD设计一游泳池，游泳池的表面由曲线和直线（单位：m）围成（图5-10），试求游泳池的表面面积.分析（1）（2）由图知综上，得游泳池平面图形的面积为答：游泳池的表面面积约为77.2613抽象归纳平面图形的面积（1）由连续曲线与直线所围成的平面图形的面积．若则面积若则面积若在上有时取正值，有时取负值（如图），则面积讨论：定积分一定表示面积吗？定积分的几何意义定积分表示由与直线所围成的曲边梯形面积的代数和.（2）由曲线与直线所围成的平面图形的面积.（3）由曲线与直线所围成的平面图

2、形的面积.（4）由连续曲线与直线所围成的平面图形的面积为例1求抛物线和直线所围成的图形的面积.解解方程组例2求椭圆的面积．解由得所以，椭圆的面积令得故所求椭圆的面积为特别，当时，得圆的面积公式：例3求由抛物线与直线所围成图形的面积.解旋转体的体积问题的提出：如图，设是上的连续函数，由曲线与直线围成的曲边梯形绕x轴旋转一周，得到一个旋转体，怎样求这个旋转体的体积？体积公式1如图，夹在两个截面之间的“小薄片”可以近似地看作一个以为底面半径、为高的圆柱体．其体积为叫做体积微元.把体积微元在上求定积分，便得到所求旋转体的体积：体积公式2由曲线与直线所

3、围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而得到的旋转体的体积为例4证明：底面半径为r，高为h的圆锥体的体积为证直线OA的方程为于是，所求体积为例5求椭圆绕x轴旋转一周而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的体积．解旋转椭球体的体积为因此，所求椭球体的体积为特别地，当时，旋转椭球体就变成了半径为a的球体，其体积为问题的提出：设函数在上具有一阶连续导数，计算曲线上从a到b的曲线弧的弧长．*平面曲线的弧长弧长的计算公式在上任取一小区间其对应的曲线弧为对应的弧微分为由模块3.5，有对在区间上求定积分，便得到所求弧长为例6求曲线上从到之间的一段弧的长度．解求导，得于是，得

4、所求弧长为*变力沿直线所作的功问题的提出：由物理学知道，物体在常力F的作用下沿力的方向作直线运动，当物体移动一段距离s时，力F所作的功为如图，设物体受到一个水平方向的力F的作用而沿水平方向作直线运动，已知在x轴上的不同点处，力F的大小不同，即力F是x的函数，记为当物体在这个变力F的作用下，由点a移动到点b时，求变力F所作的功.变力作功的计算公式在区间上任取一个小区间由于很小，于是在这一小区间上所的功为叫做功微元．上所作的功是力F在例7已知弹簧每拉长0.01m要用5N的力，求把弹簧拉长0.1m所作的功．解因为当x=0.01m时，F=5N，所以k

5、=500（N/m）.于是F=500x.故所求的功为例8把一个带电量为+q的点电荷放在r轴上坐标原点O处，它产生一个电场．电场中距离原点O为r的地方有一个单位正电荷（图5-27）．当这个单位正电荷在电场中从点a处沿r轴移动到点b（a

6、平面薄片，铅直地放置在液体中（液体密度为），最上端的一边平行于液面并与液面的距离为a，最下端的一边平行于液面并与液面的距离为b，怎样求该薄片一侧所受的压力呢？液体压力的计算公式小条块上受到的压力等于即压力微元为于是，所求薄片一侧所受的压力为例9设一水平放置的水管，其断面是直径为6m的圆，求当水半满，水管一端的竖立闸门上所受的压力．解如图，圆的方程为取x为积分变量，积分区间为于是竖立闸门上所受的压力为*经济应用问题例10已知某工厂生产某产品的边际成本为（百元/吨）.试求产量从1吨增加到5吨时总成本的增量.解（百元）.例11已知某商场销售某商品的

7、边际收入为（元/kg），边际成本为（元/kg），又固定成本C0=2000，求总成本函数、总收入函数及总利润函数.解因为所以例12已知某工厂生产某产品的边际成本为（元/件），固定成本为1000元，边际收入为（元/件）.求：(1)当产量为多少时利润最大？(2)在最大利润产量的基础上再生产20件时，利润的增量.解（1）由已知条件可知令解得因为在区间内只有惟一驻点，所以，为L(x)所求的最大值点.于是，当产量为700件时，所获利润最大.（2）产量由700件增加到720件时，利润的改变量为即，此时利润将减少8元.小结：1．平面图形的面积：2．旋转体的体

8、积：