应用数学 教学课件 ppt 作者 供各专业使用 李伶ppt 第八章第一节 二元函数.ppt

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1、第八章二元函数微分学习目标１.理解二元函数的概念，了解二元函数的极限和连续.２.理解二元函数的偏导数和全微分的概念，掌握求二元函数偏导数和全微分的方法.３.了解二元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值和最值问题.前面我们讨论了一元函数的微积分，研究的对象是一元函数，但在许多实际问题中，常常遇到含有两个或更多个自变量的函数，即多元函数本章主要介绍二元函数的微分.第一节二元函数第八章二元函数微分一、二元函数的概念及几何意义1．二元函数的定义引例1矩形面积与长，宽有下列依赖关系其中长和宽是两个独立的变量，在它们变化范围内，当,的值取定后，矩形面积有一个确定的值与之对应.引例2一定量的理想

2、气体的压强p，体积v和绝对温度t之间具有关系第一节二元函数第八章二元函数微分一、二元函数的概念及几何意义引例3在医学上，研究机体对某种药物的反应时，某种反应与药量(单位)和时间(小时)之间的关系为其中为常数（可允许给予的最大药量）.这里变量依赖于两个变量，的取值.其中r为常数.这里，当v，t在集合｛（v，t）v＞０，t＞t0｝内任取一对值（v，t）时，p的对应值就随之确定.第一节二元函数第八章二元函数微分上述三引例的具体含义不同，若仅从数量关系来研究，它们有共同的属性，抽出这些共性，对照一元函数，可以给出二元函数的定义.定义1设有三个变量,,,如果对于变量,在它们的变化范围内所取的每一对值

3、，变量都按照一定的规则，有一个确定的值与之对应，则称为，的二元函数,记做或其中,称为自变量，称为函数（或因变量）.自变量,的变化范围称为函数的定义域D.全体函数值构成的集合称为函数的值域M,即一、二元函数的概念及几何意义第一节二元函数第八章二元函数微分M=一、二元函数的概念及几何意义一元函数的自变量只有一个，其定义域是一个或几个区间.二元函数有两个自变量，其定义域通常为平面区域.由一条或几条光滑曲线所围成的具有连通性（如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部分平面的折线段连接起来，这样的部分平面称为具有连通性）的部分平面，称为平面区域，简称区域.二元函数的定义域通常为平面区域.第一节二

4、元函数第八章二元函数微分如果区域延伸到无穷远处，则称为无界区域，否则称为有界区域.把满足不等式的点的全体称为点的邻域.它是以点P０为中心，δ为半径的圆形开区域，称不包含点P０的邻域为无心邻域.一、二元函数的概念及几何意义围成区域的曲线称为区域的边界.包括边界在内的区域称为闭域.不包括边界在内的区域称为开域.第一节二元函数第八章二元函数微分常见的区域还有矩形域：a＜x＜b，c＜y＜d.注意，如果给定一个二元函数，没有特别指明它的定义域，就认为它的定义域是使该函数有意义的点的集合，一般可从函数解析式中求出来.类似地，我们可以定义三元函数u＝f（x，y，z）以及n元函数u＝f（x１，x２，…，x

5、n），多于一个自变量的函数统称为多元函数.一、二元函数的概念及几何意义第一节二元函数第八章二元函数微分练习1求二元函数的定义域.解由根式函数的要求知道，自变量即函数的定义域为其几何图形为平面上位于直线右方的图8-1半平面（如图8-1所示）.所取的值必须满足一、二元函数的概念及几何意义xy0第一节二元函数第八章二元函数微分练习2求二元函数的定义域.解自变量所取的值必须满足不等式且即函数的定义域为其几何图形为平面上位于直线之间的阴影部分（如图8-2所示）.图8-2一、二元函数的概念及几何意义xy0第一节二元函数第八章二元函数微分2．二元函数的几何意义一元函数通常表示平面上的一条曲线．oxyzZ

6、=f(x,y)MDxy图8-3二元函数,,其定义域是平面上的一个区域，对于任取点,其对应的函数值为,于是得到了空间内的一点.所有这样确定的点的集合就是二元函数的图像，通常是一张空间曲面（如图8-3所示）．一、二元函数的概念及几何意义第一节二元函数第八章二元函数微分二、二元函数的极限与连续1.二元函数的极限二元函数的极限研究的是当点时，对应的函数值的变化趋势.由于二元函数的自变量有两个，自变量的变化过程比一元函数的自变量变化过程更为复杂.这里表示点以任何方式趋于点，也就是点与点间距离趋于0与一元连数的极限概念类似，如果在的过程中，对应的函数值无限接近于一个确定的常数A，我们就说A是函数当时的

7、极限.即第一节二元函数第八章二元函数微分定义2设二元函数在点的某一邻域内有定义，如果当点以任何方式趋近于点时，总是无限地趋近于一个确定的常数，则称常数为函数在,时的极限，记作或()注意：在二元函数极限的定义中，以任何方式趋近于是指平的面上点以任意路径无限趋近于点.二、二元函数的极限与连续第一节二元函数第八章二元函数微分如果点只取某些特殊方式，如沿一条给定的直线或给定的曲线无限趋近于,则即使这时函数值无限趋近于某一确定的常