应用经济数学电子教案 教学课件 ppt 作者 冯翠莲 3-5.ppt

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1、一.曲线凹凸与拐点的定义ESC§3.5曲线的凹凸性与拐点§3.5曲线的凹凸性与拐点二.曲线凹凸与拐点的求法一.曲线凹凸与拐点的定义ESC§3.5曲线的凹凸性与拐点§3.5曲线的凹凸性与拐点二.曲线凹凸与拐点的求法ESC一.曲线凹凸与拐点的定义案例请问:“耐用消费品的销售曲线大致呈什么形状?”进一步分析在某一地区,一种耐用消费品的销售数量与销售时间之间有函数关系,其销售情况如图所示.在时间段内,曲线上升的趋势由缓慢而逐渐加快.在时间段内,曲线上升的趋势是由快而转向缓慢,并随着时间的延续而以直线为水平渐近线.销售量由加快转向平稳的转折点.随着时间的延续,其销售数量不断增加.单调上升这是由于在该

2、产品上市之前,已作了大量的广告宣传,故该产品一上市,就销出数量ESC一.曲线凹凸与拐点的定义案例请问:“耐用消费品的销售曲线大致呈什么形状?”进一步分析在某一地区,一种耐用消费品的销售数量与销售时间之间有函数关系,其销售情况如图所示.在时间段内,曲线向上弯曲,称曲线是凹的.在时间段内,曲线向下弯曲,称曲线是凸的.曲线凹凸改变的分界点,称为曲线的拐点.单调上升切线在下,曲线在上.切线在上,曲线在下.ESC一.曲线凹凸与拐点的定义曲线凹凸与拐点的定义在区间内,定义3.2若曲线弧位于其上任一点切线的下方,则称曲线在该区间内是凸的.若曲线弧位于其上任一点切线的上方,则称曲线在该区间内是凹的;上弦月

3、下弦月ESC二.曲线凹凸与拐点的求法假设表示曲线的切线倾角.函数在区间内二阶可导,当时,导函数单调增加,从而切线斜率随增加而由小变大.切线在下,曲线在上,曲线凹.切线在下,曲线在上,曲线凹.是锐角是钝角凹,增凹,减ESC二.曲线凹凸与拐点的求法假设表示曲线的切线倾角.函数在区间内二阶可导,当时,导函数单调增加,从而切线斜率随增加而由小变大.切线在下,曲线在上,曲线凹.是锐角是钝角单调增加上述三条曲线增减性不同,但都是凹的,共同特点是:凹,非单调ESC二.曲线凹凸与拐点的求法假设表示曲线的切线倾角.函数在区间内二阶可导,当时,导函数单调减少,从而切线斜率随增加而由大变小.切线在上,曲线在下,

4、曲线凸.切线在上,曲线在下,曲线凸.是锐角是钝角凸,增凸,减ESC二.曲线凹凸与拐点的求法假设表示曲线的切线倾角.函数在区间内二阶可导,切线在上,曲线在下,曲线凸.是锐角是钝角单调减少上述三条曲线增减性不同,但都是凸的,共同特点是:当时,导函数单调减少,从而切线斜率随增加而由大变小.凸,非单调ESC拐点存在的必要条件二.曲线凹凸与拐点的求法由于拐点是曲线上,凹与凸的分界点,则必然有若点是曲线的拐点,且存在,凹凸凹与凸分界点凹凸凹与凸分界点ESC(1)确定函数的定义域;二.曲线凹凸与拐点的求法对二阶可导函数判定曲线的凹凸区间并求曲线的拐点的程序:(2)求二阶导数解方程求其根.其根将函数有定义

5、域的区间分成若干个部分区间;(3)判定:在各个部分区间内讨论导数的符号:设是的一个部分区间,当时,若则曲线在区间内凹;若则曲线在区间内凸.又假设且有若在点的左右邻近的符号相反,则曲线上的点是曲线的拐点;若在点的左右邻近的符号相同,则在处,曲线没有拐点.ESC解(2)由于由得练习1确定曲线的凹凸区间与拐点.(1)函数的定义域是(3)判定:在区间内,因,所以曲线凸;在区间内,因,所以曲线凹.将函数的定义域分成两个部分区间由于在的左右两侧,的符号相反,且当时,,故曲线上的点是曲线的拐点．二.曲线凹凸与拐点的求法ESC练习1确定曲线的凹凸区间与拐点.由于在的左右两侧,的符号相反,且当时,,故曲线上

6、的点是曲线的拐点.也可用列表的方法判定:故曲线上的点是曲线的拐点.二.曲线凹凸与拐点的求法ESC解试讨论该需求收入曲线的凹凸区间与拐点.练习2设一消费品的需求是消费者的收入的函数又因因收入非负,故所给需求收入函数的定义域是由在区间内,因,故曲线凹;在区间内,因故曲线凸;得当时,故曲线的拐点是二.曲线凹凸与拐点的求法ESC结论:试讨论该需求收入曲线的凹凸区间与拐点.练习2(续)设一消费品的需求是消费者的收入的函数在区间内,曲线凹;在区间内,曲线凸;曲线的拐点是拐点凹凸二.曲线凹凸与拐点的求法