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1、第四讲数学归纳法证明不等式在数学研究中，人们会遇到这样的情况，对于任意正整数n或不小于某个数n0的任意正整数n，都有某种关系成立。对这类问题的证明我们将使用又一种重要的数学推理方法------数学归纳法与正整数有关的命题例如：1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(n∈N+)n2<2n(n∈N+,N≥5),(1+x)n>1+nx(x>-1,n∈N+).n=5,a5=25问题情境一问题1:大球中有5个小球，如何验证它们都是绿色的？完全归纳法不完全归纳法模拟演示问题3:已知：－1＋
2、3=2－1＋3－5=－3－1＋3－5＋7=4－1+3－5＋7－9=－5可猜想：－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝问题2：若an=(n2-5n+5)2，则an=1。对吗？1111当n=1,a1=;n=2,a2=;n=3,a3=;n=4,a4=;（－1）nn问题情境二：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例猜想：都是质数法国的数学家费马（PierredeFermat）(1601年～1665年)。十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰
3、他的数学造诣，世人冠以“业余王子”之美称，归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法。（2）不完全归纳法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法。归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。归纳法如何解决不完全归纳法存在的问题呢？必须寻找一种用有限个步骤，就能处理完无限多个对象的方法。问题情境三多米诺骨牌操作实验数学归纳法我们常采用数学归纳法来证明：由不完全归
4、纳法得到的某些与正整数有关的数学命题的正确性.（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立（2）假设当n=k(k∈N＋,k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立。这种证明方法叫做数学归纳法k=2,k+1=2+1=3k=3,k+1=3+1=4…k=10,k+1=10+1=11…下面我们来证明前面问题3中猜想的正确性证明:(1)当n=1时,左边=－1,右边=－1,∴左边=右边,∴当n=1时，式（*）成立(2)假设当n=k时，式（*）成立，即－1+3－5＋…＋（－1）k（2k－1）＝（－
5、1）kk在这个假设下再考虑当n=k+1时，式（*）的左右两边是否成立.例1、用数学归纳法证明：当n∈N+时，－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）nn（*）当n=k+1时等式左边＝－1+3－5＋…＋（－1）k（2k－1）＋（－1）k＋1[2(k+1)－1]＋（－1）k＋1[2(k+1)－1]＝（－1）k＋1(k+1)＝右边所以当n=k+1时等式（*）成立。由（1）（2）可知，－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）nn利用假设凑结论从n=k到n=k+1有什么变化＝（－1）kk＝
6、（－1）k＋1[－k＋2(k+1)－1]下面的框图表示了数学归纳法的基本过程：（1）验证：n=n0（n0∈N+）时命题成立。（2）证明：假设n=k（k≥n0）时命题成立，则n=k+1时命题也成立。对所有的n（n0∈N+，n≥n0）命题成立奠基假设与递推数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。主要有两个步骤、一个结论:第一步：验证当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确第二步：假设n=k(k∈N＋，且k≥n0)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确结论：由（1）、（2）得出结论正
7、确找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整数学归纳法主要步骤:例2用数学归纳法证明1×4＝411）此时n0=__左＝_______右=__________2）假设n=k时命题成立，即当n=k时，等式左边共有___项，第(k－1)项是__________________。k(K－1)×[3(k－1)＋1]1(1＋1)2=41×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)21×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)23）当n=k+1时，命题的形式是4）此时，左边增加的项
8、是5)从左到右如何变形？1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]2(k+1)[3(k+1)+1]证明：（1）当n=1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立。（2）假设n=k时命题成立，即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立当n=k+1时左边=1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)
