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1、三角形内角和的证明及应用河南省濮阳范县濮城镇中学李智萍一、复习“三角形内角和定理”我们已经知道：三角形的三个内角之和等于180°。即：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180゜ABC二、论证“三角形内角和定理”怎样验证三角形的三个角的和等于180°呢？即把∠A撕下来放在∠1的位置上，把∠B撕下来放在∠2的位置上。这时就可得∠ACB和∠1和∠2组成了一条直线，得到∠ACB+∠1+∠2=180゜，就可说明∠A+∠B+∠C=180゜了。你动手试过了吗？.在前面我们是采用拼接的方法来说明的。但是组成的BC和
2、CD真的就是一条直线吗？很明显，这是无法确定的如果△ABC是画在一块不能分割的平面上，如在黑板上，这时就不可能做到把∠A、∠B撕下来再分别放在∠1、∠2的位置上，那么又如何论证∠A+∠B+∠C=180゜呢？三角形内角和定理的证明言必有“据”回顾与思考☞我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个结论的探索过程吗?1ABD23C(1)如图,当时我们是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不实际移动∠A和∠B,那么你还有其它方法可以达到同样的效果?(2)根据前面的公理和定理,你能用自
3、己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800.21“行家” 看“门道”已知:如图,∠A、∠B、∠C是△ABC的三内角.求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则例题欣赏☞你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∠2=∠B(两直线平行,同位角相等).又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换
4、).分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.ABCE213D一题多解在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?议一议请你帮小明把想法化为实际行动.小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?证明:过点A作PQ∥BC,则∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),∠2=∠C(两直线平行,内错角相等),又∵∠1+∠
5、2+∠3=180°(平角的定义),∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).所作的辅助线是证明的一个重要组成部分,要在证明时首先叙述出来.PQ231ABCABC已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°开启智慧小组讨论一下，还有其他证明方法吗？把三个角“凑”到B处,C处，结果如何？可以试试吗？“行家” 看“门道”根据下面的图形,写出相应的证明.课堂练习☞你还能想出其它证法吗?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRMABC证明：过A作AE∥BC，E∴∠B=
6、∠BAE(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换)开启智慧ABCPQR证明：过点P作PQ∥AC交AB于Q点，作PR∥AB交AC于R点。∴四边形AQPR是平行四边形（平行四边形的定义）∴∠QPR=∠A（平行四边形的对角相等）∠RPC=∠B（两直线平行，同位角相等）∠QPB=∠C（两直线平行，同位角相等）∵∠QPB+∠QPR+∠RPC=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）∠EBC+∠
7、FCB=180°（两直线平行，同旁内角互补）即∠1+∠ABC+∠ACB+∠4=180°又∵∠BAC=∠2+∠3∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）ABCEDF（（（123证明：过A点作射线AD，过Ｂ点作BE∥AD，过C点作CF∥AD（两直线平行，内错角相等).4（则BE∥CF（平行与同一条直线的两直线平行）∴∠1=∠2，∠3=∠4）A证明：E则CE∥BA(内错角相等，两直线平行).∴∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).）12又∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义)∴∠A+∠
8、B+∠ACB=180°(等量代换)BCD作BC的延长线CD，在△ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边作∠1=∠A，ABCO在△ABC内任找一点O，连接AO、BO、CO，即把△ABC分成三个三角形，即△AOB、△AOC、△BOC，由于每个三角形的内角和相等，故可得等量关系△AOB、△AOC、△BOC三个的内角和减去360就是△ABC的内角和。解：设△ABC的内角和为X，于是有方程3X－360°=X解得X=180°即三角形的内角和为180°O三角形内角和定理三角形内角
