高中2010年数学高考萃取精华复习测试题(11).doc

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1、2010高考数学萃取精华30套（21）1.聊城一模20．（本小题满分12分）已知等比数列中，分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且公比（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足是数列的前n项和，求证：当20．解：（1）由已知得从而得解得（舍去）…………4分所以…………6分（2）由于因此所证不等式等价于：①当n=5时，因为左边=32，右边=30，所以不等式成立；②假设时不等式成立，即两边同乘以2得这说明当n=k+1时也不等式成立。由①②知，当成立。因此，当成立。…………12分21．（本小题满分12分）已知函数是的导函数。（1）当a=2时，对于任意的的最小

2、值；（2）若存在，使求a的取值范围。21．解：（1）由题意知令当x在[-1，1]上变化时，随x的变化情况如下表：x-1（-1，0）0（0，1）1-7-0+1-1↓-4↑-3的最小值为的对称轴为且抛物线开口向下的最小值为的最小值为-11。…………6分（2）①若上单调递减，又②若当从而上单调递增，在上单调递减，根据题意，综上，a的取值范围是…………12分22．（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为其左、右焦点分别为，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）。（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直

3、径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由。22．解：（1）设则由由得即所以c=1…………2分又因为…………3分因此所求椭圆的方程为：…………4分（2）动直线的方程为：由得设则…………6分假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，则由假设得对于任意的恒成立，即解得m=1。因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）…………10分这时，点M到AB的距离设则得所以当且仅当时，上式等号成立。因此，面积的最大值是…………14分1.枣庄一模20．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列的前n项和满足（

4、1）求数列的通项公式；（2）设数列为数列的前n项和，求证：20．（1）当n=1时，有解得…………1分当时，有两式相减得…………3分由题设故数列是首项为2，公差为3的等差数列……5分（2）由…………6分而…………8分令则而是单调递减数列．…………10分所以，从而成立．…………12分21．（本题满分12分）已知函数（1）若函数存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）当a>0时，试讨论这两个函数图象的交点个数．21．（1）若使存在单调递减区间，则上有解．……1分而当问题转化为上有解，故a大于函数上的最小值．………………3分又上的最小值为-1，所以a>1．……4分（

5、2）令函数的交点个数即为函数的零点的个数．……5分令解得随着x的变化，的变化情况如下表：-0+单调递减极（最）小值2+lna单调递增…………7分①当恒大于0，函数无零点．……8分②当由上表，函数有且仅有一个零点．……9分③显然内单调递减，所以内有且仅有一个零点…………10分当由指数函数与幂函数增长速度的快慢，知存在使得从而因而又内单调递增，上的图象是连续不断的曲线，所以内有且仅有一个零点．…………11分因此，有且仅有两个零点．综上，的图象无交点；当的图象有且仅有一个交点；的图像有且仅有两个交点．……12分22．（本题满分14分）抛物线D以双曲线的焦点为焦点．

6、（1）求抛物线D的标准方程；（2）过直线上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标；（3）在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：

7、PM

8、·

9、QN

10、=

11、QM

12、·

13、PN

14、22．解：（1）由题意，所以，抛物线D的标准方程为…………3分（2）设由抛物线D在点A处的切线方程为…………4分而A点处的切线过点即同理，可见，点A，B在直线上．令所以，直线AB过定点Q（1，1）…………6分（3）设直线PQ的方程为由得由韦达定理，…………9分而…………12分将代入方程（*）的左边，得（*）的左边=0．因而有

15、PM

16、·

17、

18、QN

19、=

20、QM

21、·

22、PN

23、．…………14分