2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课件：第6章第8节数学归纳法及其应用.ppt

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1、第八节　数学归纳法及其应用1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取______________________时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当____________时命题成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．第一个值n0(n0∈N*)n＝k＋12．数学归纳法的框图表示1．数学归纳法的第一步n取第一个值n0(n∈N*)是否一定为1呢？【提示】不一定．n0的取值应取命题成立的第1个值，不一定是1.2．数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？【提示】数学归纳法中两个

2、步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推．两者缺一不可．另外，在第二步中证明n＝k＋1时命题成立，必须利用归纳假设，否则就不是数学归纳法．【解析】三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.【答案】C【答案】C【答案】2k【审题视点】(1)第一步验证n＝1时等式成立．(2)第二步假设n＝k(k∈N*)时等式成立，证明n＝k＋1时，等式成立．1．用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．2．由n＝k时命题成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要

3、充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．【证明】(1)当n＝1时，左边＝2，右边＝21·1＝2，∴n＝1时，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)．当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)(2k＋2)＝2·(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1)＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)．这就是

4、说当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)、(2)知，对n∈N*，原等式成立.1．从特殊发现一般性规律，特别是左边最后一项分母的变化．在由n＝k推出n＝k＋1时命题成立时，关键抓住两点：(1)项数与分母的变化；(2)将分母放大，从而向n＝k＋1时的目标靠拢．2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．【审题视点】根据求出的前n项，抽象出一般性的规律，然后利用数学归纳法证明．1．猜想{an}的通项公式是一个由特殊到一般的过程，注意两点：(1

5、)准确计算a1，a2，a3发现规律(必要时可多计算几项)；(2)证明ak＋1时，ak＋1的求解过程与a2、a3的求解过程相似，注意体会特殊与一般性的辨证关系．2．“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式．【解】∵f′(x)＝x2－1，且an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－1，∵函数g(x)＝(x＋1)2－1在[1，＋∞)上单调递增．于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1

6、，进而a3≥(a2＋1)2－1≥24－1＞23－1，由此猜想：an≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想：①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1.由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调递增知，ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1时，结论也成立．由①②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1.即1＋an≥2n.数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．运用数学归纳法应

7、注意：(1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．(2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要归纳假设，否则就不是数学归纳法．从近两年的高考试题来看，用数学归纳法证明与正整数有关的命题以及与数列有关的命题是高考的热点，题型为解答题，主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力，分析问题、解决问题的能力，难度为中、高档．在求解时，应注意答题步骤的规范化．【解析】当