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1、§5.对坐标的曲面积分(又称第二类曲面积分)一、对坐标的曲面积分的概念与性质1.曲面的侧设所讨论的曲面都是光滑的，双侧的。如一张包围某一空间区域的闭曲面，就有外侧与内侧之分。9/9/20211观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧上侧下侧外侧内侧9/9/20212大家大概都知道莫比乌斯带。你可以把一条纸带的一端扭180度，再和单侧曲面例子(注:本课程不讨论此类曲面)另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。这是一张只有一个侧面的曲面。9/9/20213用法向量的指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧侧的规定来指
2、定曲面的侧的方法如下:现用曲面上法向量的指向来定曲面的侧,指定了侧的曲面叫有向曲面.9/9/20214zxy2、有向曲面在坐标面上的投影设∑是有向曲面，在∑上取小块曲面△S，△S在xoy面上的投影区域面积假设△S上各点处的法向量与z轴正向的夹角有相同符号,则规定△S在xoy面上的投影余弦记为△S9/9/20215类似规定：9/9/202163、引例:求流向曲面一侧的流量设稳定流动(速度V与时间t无关的流动)的不可压缩流体的速度场为常向量(设流体密度ρ=1)，速度场中有一有向平面A(面积记为A)，先讨论特殊情形：AA求单位时间内流向A一侧的流量Φ。9/9/20217一般情形：设流体(ρ=1
3、)的速度场为Σ为流速场中一片光滑有向曲面，函数P,Q,R在Σ上连续，求单位时间内流向Σ的指定侧的流量Φ。zxy利用元素法9/9/20218(1)把Σ任分成n个小块曲面ΔSi;(2)在ΔSi中任取一点用9/9/20219同理：zxy规定△S在xoy面上的投影9/9/2021104.定义设R(x,y,z)在光滑有向曲面Σ上有界，任分∑为n个小曲面在xoy平面的投影作乘积存在，则称此极限值为函数R(x,y,z)在有向曲面∑上对坐标x,y的曲面积分。9/9/202111类似可定义：P(x,y,z)在有向曲面∑上对坐标y,z的曲面积分Q(x,y,z)在有向曲面∑上对坐标x,z的曲面积分记作9/9/
4、202112常用其组合形式：说明：(1)函数P,Q,R中变量x,y,z不独立，受到曲面∑方程的限制；(2)为有向面积元素9/9/202113(3)对坐标的曲面积分又称为第二类曲面积分，如：则其性质与第二类曲线积分相仿。9/9/202114二、对坐标的曲面积分的计算法9/9/202115类似，取前侧＋(后侧)(—)取右侧＋(—)(左侧)9/9/202116例1：zxy1解：19/9/202117解：(取上侧)(取下侧)＋zxy11例1：9/9/202118例2：解：(前后曲面)曲面向xoy平面投影时，曲面向yoz平面投影时，=0.投影为曲线，12zxy9/9/202119曲面向yoz平面投
5、影时，(前后曲面)例2：12zxy9/9/202120法向量的方向余弦。三、两类曲面积分之间的联系9/9/202121例：其中f(x,y,z)为连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧。解：的法向量xyz11-19/9/202122则，原式=xy1-19/9/202123课外作业习题12—5(A)2(2,4,6)2,4(2)习题12—5(B)9/9/202124§6高斯公式通量与散度9/9/202125一、高斯(Gauss)公式格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。9/9/202126
6、是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦。定理：设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面在Ω上具有一阶连续偏导数，则有其中Σ为闭区域Ω的整个边界曲面的外侧。或高斯公式9/9/202127——高斯公式其中Σ为闭区域Ω的边界曲面的外侧。则有：9/9/202128例1：xyz解：29/9/202129例2：在第一卦限外侧部分的流量。解：∑非闭曲面，方向如图，加辅助面:xyz09/9/202130∑非闭曲面，加辅助面:0=0,0=0,0=0,xyz09/9/202131例3.求解：0xyz利用高斯公式,为此引入辅助曲面易见于是由高斯公式,有9/9/202132例3.求0xyz于是由高斯公式,有9/9/
7、202133例3.求解二：0xyz利用两类曲面积分之间的联系求解,则9/9/202134例3.求是如图所示的四面体OABC的整个边界曲面，且取外侧。0xyzA(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1)解：9/9/202135例4：分析：不可用高斯公式!!!12xyz129/9/202136解：yx121212xyz129/9/20213712yx121201029/9/202138二、通量与散度引例.设稳定流动的不可压缩流体的密
