高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质三角函数的定义.doc

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1、第2节三角函数的定义【基础知识】1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝y，cosα＝x，tanα＝，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_

2、α，sin_α)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线[【规律技巧】1.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的

3、问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．【典例讲解】【例1】已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．【规律方法】利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．【变式探究】已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．【针对

4、训练】1、已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－，则m等于(　　)A．－B.C．－4D．4【答案】C【解析】由题意可知，cosα＝＝－，又m<0，解得m＝－4.2、已知角α的终边与单位圆的交点P，则tanα＝(　　)A.B．±C.D．±【答案】B　【解析】由

5、OP

6、2＝x2＋＝1，得x＝±，tanα＝±.3、已知角α的终边上有一点P(t，t2＋1)(t>0)，则tanα的最小值为(　　)A．1　　　　　B．2C.D.【答案】B【解析】根据已知条件得tanα＝＝t＋≥2，当且仅当t＝1时，ta

7、nα取得最小值2.4、已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为(　　)A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sin＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为.5、已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是(　　)A．(－2,3]B．(－2,3)C．[－2,3)D．[－2,3]【答案】A【解析】　∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴∴－2

8、.6、已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋的值．【答案】0【练习巩固】1．已知锐角α的终边上一点P(sin40°，1＋cos40°)，则锐角α＝(　　)A．80°B．70°C．20°D．10°【解析】根据三角函数定义知，tanα＝＝＝＝＝tan70°，故锐角α＝70°.【答案】B2．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是(　　)A．(－2，3]B．(－2，3)C．[－2，3)D．[－2，3]【解析】由cosα≤0，sinα＞0可知，角α

9、的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有解得－2＜a≤3.【答案】A3．已知圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tanα＝(　　)A．－1B．1C．－2D．2【解析】圆的半径为2，的弧长对应的圆心角为，故以ON为终边的角为，故tanα＝1.【答案】B4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝______．【解析】因为sinθ＝＝－，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.

10、【答案】－85．已知角α的终边上有一点的坐标是P(3a，4a)，其中a≠0，求sinα，cosα，tanα.