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1、数值分析实验报告（3）学院：信息学院班级：计算机0903班姓名：王明强学号：20092954-18-课题三线性方程组的迭代法一、问题提出1、设线性方程组=x=(1,-1,0,1,2,0,3,1,-1,2)2、设对称正定阵系数阵线方程组=x=(1,-1,0,2,1,-1,0,2)3、三对角形线性方程组-18-=x=(2,1,-3,0,1,-2,3,0,1,-1)试分别选用Jacobi迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法计算其解。二、要求1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；2、
2、分别对不同精度要求，如由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；3、对方程组2，3使用SOR方法时，选取松弛因子=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；4、给出各种算法的设计程序和计算结果。三、目的和意义1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；gauss消去法是一种规则化的加减消元法。它的基本思想是：通过逐次消元计算把需要求求解的线性方程转化成上三角形方程组，也就是把线性方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组求
3、解转化为等价（同解）的上三角方程组的求解。消去法是直接方法的一种。优点：对于简单的方程组可以很快得出结果，计算中如果没有舍入误差，在稳定的方程组中容易得到精确解，理论上可以求解任何可以求出解得方程组。缺点：数值有的时候不稳定（可采用列主元gauss消去法），既要消去，又要回代，算法实现起来比较复杂，不适用于大规模方程组。迭代法是从某一取定的初始向量x(0)出发，按照一个适当的迭代公式，逐次计算出向量x(1)，x(2)，......，使得向量序列{x(k)}收敛于方程组的精确解，这样，对于适当大的k，可取
4、x(k)作为方程组的近似解。优点：算法简单，程序易于实现，特别适用求解大型稀疏线性方程组。-18-缺点：与直接方法不同，即使在计算过程中无舍入误差，迭代法也难获得精确解。而且并不是所有方程组都适用我们学过的迭代法，对于这样的方程组，我们还必须自己构造一个收敛的迭代矩阵。2、运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序；Jacobi迭代:输出迭代解x1，…xn，和迭代次数k超过迭代次数xi（0）=xi,i=1,2,…nR≤e置R=max{xi-xi(0)},1≤i≤n。对于i=1,2,…,n,计
5、算xi=xi（0）+(bi-∑aijxj(0))/aiij=1,…,n输入矩阵A=（aij），右端项b=(b1,…,bn)，维数n，初始向量x(0)，精度要求e，最大迭代次数N,当前迭代次数k=1。k=k+1YNY-18-Gauss-Seidel迭代输出迭代解x1，…xn，和迭代次数k超过迭代次数xi（0）=xi,i=1,2,…nR≤e置R=max{xi-xi(0)},1≤i≤n。输入矩阵A=（aij），右端项b=(b1,…,bn)，维数n，初始向量x(0)，精度要求e，最大迭代次数N,当前迭代次数k=
6、1。对于i=1,2,…,n，计算xi=xi（0）+(bi-∑aijxj-∑aijxj(0))/aiij=1,…i-1,j=i+1,…nk=k+1YNY-18-SOR迭代输出迭代解x1，…xn，和迭代次数k超过迭代次数xi（0）=xi,i=1,2,…nR≤e置R=max{xi-xi(0)},1≤i≤n。输入矩阵A=（aij），右端项b=(b1,…,bn)，维数n，初始向量x(0)，精度要求e，最大迭代次数N,当前迭代次数k=1,松弛因子w。对于i=1,2,…,n，计算xi=xi（0）+w*(bi-∑aij
7、xj(0))/aiij=1,…,nk=k+1YNY-18-3、体会上机计算时，终止步骤<或k>（予给的迭代次数），对迭代法敛散性的意义；对例子3做J迭代法选择用以后的矩阵初始化，选择矩阵3。-18-精度为0.01。初始向量为（0，0，0，0，0，0，0，0，0，0）T用Jacobi迭代，验证精度问题。迭代次数为9。精度为0.001。初始向量为（0，0，0，0，0，0，0，0，0，0）T-18-迭代次数为11。精度为0.0001。初始向量为（0，0，0，0，0，0，0，0，0，0）T迭代次数为14。答：在
8、精度越高的情况下迭代的次数也越高。在使用同一个迭代法的时候收敛速度是一样的，迭代次数越多，所得到的结果越接近精确解。4、体会初始解x，松弛因子的选取，对计算结果的影响。答：初始解要是接近精确解得时候收敛的比较快。选取矩阵2，精度为0.001，最大迭代次数100000。分别选取w=0.8，0.9，1，1.1，1.2。-18-由上面的结果可以看出，w逐渐增大的时候迭代次数在逐渐减少，w=1.2的时候收敛的最快，w=1.2是矩阵2的最优解。选取矩
