一元函数的连续性与间断点.ppt

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1、9/16/20217:47PM§2.7一元函数的连续性与间断点1.函数的连续性2.函数的间断点3.连续函数的运算法则4.闭区间上连续函数的性质9/16/20217:47PM1.函数的连续性【定义2.8】设变量　从初值　改变到终说明改变量可以是正的，也可是负的。例如从0变到1，从1变到0，第2章极限与连续值　，变量，终值与初值之差　　　称为变量　的改记作　　　　。则则9/16/20217:47PM如图所示设函数　　　　，第2章极限与连续时，当自变量　从　改变到函数　相应的改变量为　　。9/16/20217:47PM例设正方形的边长　有一个改变量如图所示，面积的改变量面积　改变了多少？第2章极

2、限与连续9/16/20217:47PM简单地说，。如图所示处不连续处连续第2章极限与连续函数也有一个很小的变化。当自变量有一个很小的变化时，即　　　　时，9/16/20217:47PM或则称函数在点　处连续。函数连续定义的等价形式【定义2.9】设函数　　　　在点　的某即【定义2.10】设函数　　　　在　的某个在点　处连续。第2章极限与连续邻域内有定义，若则称函数个邻域内有定义，得的改变量　　　时，如果当自变量　在点　处取函数的改变量　　　，9/16/20217:47PM事实上，（1）函数　　　　在　处有定义；（2）极限　　　　存在；（3）极限值等于函数值　　　　　　　。若有一条不满足，函数

3、在　处不连续第2章极限与连续具备下列三个条件：函数　　　　在　处连续要同时9/16/20217:47PM例1证明函数　　在给定点　处连续。证当　在　处有一个改变量　　时，函数　　　有改变量所以，函数　　　在　处连续。第2章极限与连续证毕。9/16/20217:47PM【定义2.11】设函数　　在区间　　上说明在左端点　处和右端点　处连如上例中，在　　　　内连续。第2章极限与连续每一点都连续，是　　的连续区间。则称在　　上连续，并称续是指而点　可以是　　　　内的任意一点，函数　　　在给定点　处连续，因此9/16/20217:47PM例2证明函数　　　在　　　内连续。证设　为　　　　内任意一点

4、，因为所以即第2章极限与连续处有改变量　　，函数的改变量在9/16/20217:47PM因而所以函数　　　　在点　处连续。再由　的任意性知，证毕。同理可证　　　　在　　　　内连续。第2章极限与连续内连续。函数　　　　在9/16/20217:47PM说明由函数在一点　处连续的定义及连续函数的极限符号与函数符号可以交换例如求解第2章极限与连续有9/16/20217:47PM2.函数的间断点【定义2.12】若函数　　在点　处不满足定义等价于第2章极限与连续连续条件，称函数　　在点　处间断，断点。则称函数　　在点　处不连续，或点　称为　　的间9/16/20217:47PM若函数　　在　的去心邻域内

5、有定义，（1）函数　　在　处无定义；（2）　　　　不存在；（3）第2章极限与连续则下列情形之一，称函数　　在处间断9/16/20217:47PM例3讨论函数　　　在点　　处的连续如图所示解由于函数在点　　处无定义，函数　　　在处间断。第2章极限与连续性。故9/16/20217:47PM例4设函数　　　　　　　　　，函数　　在点　　处的连续性。解由于则　　　　不存在，在　　处间断。如图所示第2章极限与连续故讨论9/16/20217:47PM例5设函数　　　　　　　　，数　　在点　　处的连续性。解由于故函数　　在　　处如图所示第2章极限与连续间断。讨论函9/16/20217:47PM间断点的类

6、型【定义2.13】设　是函数的间断点均存在若　　　　　　，称　为可去间断点。若　　　　　　，称　为跳跃间断点。例4中，　　是跳跃间断点。例5中，　　是可去间断点；第2章极限与连续第一类间断点9/16/20217:47PM第二类间断点至少有一个不存在若其中至少有一个振荡，例3中，　　是无穷间断点；若其中至少有一个为　，如图是函数的振荡间断点。第2章极限与连续称　为无穷间断点；称　为振荡间断点。9/16/20217:47PM3.连续函数的运算法则【定理】若函数　　与　　在点　处在　处也连续。例因为　　　　　在区间　　　　内连续，证只要证明极限值等于函数值即可（略）所以　　　　　　在其定义域内连

7、续。第2章极限与连续连续，则9/16/20217:47PM【定理】若函数　　　　在区间　上单调例由于函数　　　　在闭区间上单调增加且连续，在闭区间　　　上也是单调增加且连续。所以其反函数第2章极限与连续增加（减少）且连续，也在对应的区间　　　　　　　　　　上，调增加（减少）且连续。（证略）则其反函数单9/16/20217:47PM【定理】设函数　　　　　由函数例求即解第2章极限与连续与函数　　　　复合而成，而函数