一般壳体问题的有限元法.ppt

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1、壳体实质上是从平板演变而来的，它的中面是一个曲面。在分析壳中应力时，虽然平板的基本假定同样有效，但是壳体的变形有着很大程度的不同，它除了弯曲变形外还存在中面变形。因而，壳中内力包括有弯曲内力和中面内力。应用有限单元法分析壳体结构时，广泛地采用了平面单元和曲面的单元这两类壳体单元。本章首先介绍平面单元，它是平面应力问题和平板弯曲问题的组合；这种单元虽然简单，但是相当有效。然后讨论一个考虑横向剪切影响的曲面单元，称为八结点40个自由度的一般壳单元，可以适用于厚壳和薄壳。第八章一般壳体问题的有限元法将壳体曲面划分为有限个单元，它们都是

2、曲面单元。但是在单元细分时，用平面单元组成的一个单向或双向折板来近似壳体的几何形状将会得到良好的结果。通常对于任意形状的壳体，采用三角形单元比较方便，如图8-1所示。如果在壳体上容易找到同一平面上的四个点，可以采用平面四边形单元。例如具有正交边界的柱面壳体，如图8-2所示。图8-1任意壳体作为平面三角形单元的集合图8-2圆柱壳作为平面矩形单元的集合§8-1平面壳体单元壳体平面单元的应力状态是由平面应力和弯曲应力的叠加而成的，因此在构造壳体平面单元时，只要将第二章和第七章所讨论的相应单元进行简单的组合就可以了。同样，前述二章所导出

3、的刚度矩阵可作为建立壳体平面单元刚度矩阵的基础。现在把平面单元的计算步骤归纳如下1.划分单元，选定整体坐标系oxyz，定出节点在整体坐标系中的坐标值。2.对于各个单元利用节点坐标值，建立一个局部坐标系例如三角形单元123，可以选取节点1为局部坐标系的原点，并且以1-2边为轴的正方向，如图8-3所示。于是，方向的单位e1求得是(8-1)式中是矢量12的长度。取单元的外法线方向作为轴的正方向，于是它的单位矢量图8-3三角形单元局部坐标系容易看出，矢量12和13的矢性积的模等于三角形面积Δ的一倍，即

4、12×13

5、=2Δ。最后，按右手定

6、则可以决定y轴的正方向,它的单位矢量e2是e2=e3×e1(8-3)利用上述方法确定的局部坐标系，三角形单元123是在平面内，它的三个角点的局部坐标值是很容易确定的。对于柱面上的矩形单元，局部坐标的原点选在矩形的形心，通常选轴和x轴均沿柱面母线方向。如图8-4中所示，由矢量12确定单位矢量e1,再由矢量14确定单位矢量e2，于是e3=e1×e2。3.对于各个单元，确立在局部坐标系中的结点载荷列阵。壳体载荷可以分解成二组：一组作用在平面内，另一组垂直于平面。为此，在计算各个单元的结点载荷列阵（包括等效结点力）可以直接引用第二章和第

7、七章中所叙述的载荷计算的相应公式。各个单元的结点载荷列阵图8-4矩形单元局部坐标求得后，建立变换矩阵公式，从而把转换到整体坐标系中去求出在整体坐标下的单元节点载荷列阵，然后经各单元的简单叠加可以求出结构在整体坐标下的节点载荷列阵。显然，平面单元在局部坐标系中，结点i有五个广义位移：即，其中前两个对应于平面应力问题，后三个对应于平板弯曲问题。类似地，所对应的结点力列阵显然，在上式中实际上总是等于零的。。为了经坐标变换后不影响在整体坐标系中对各特征量的计算，我们引进(8-4)容易看出，把以上结点位移和结点力变换到整体坐标中后，他的结

8、点位移和结点力列阵具有如下形式上式右端的前三项分别表示位移和力，后三项分别表示转角和力矩，它们都是有明显物理意义的矢量。因此，（8-4）式和（8-5）式之间的坐标变换公式是式中而(b)(8-5)(8-6)(a)于是，壳体单元e在局部坐标下的结点位移列阵是或而所对应的单元节点力（包括等效节点力）列阵是或式中n=3是对应于三角形单元；n=4对应于四边形单元。本节以下的n所指的意义均是如此，不再重复说明。(c)(d)(e)(f)4.建立局部坐标系中的单元刚度矩阵，从而求出整体坐标系中的单元刚度矩阵。如果将单元刚度矩阵和对应于单元节点划

9、分为n×n个子矩阵，每个子矩阵都是6×6的，于是的子矩阵有如下形式式中和分别是平面应力问题和平面弯曲问题的相应子矩阵，它们是2×2和3×3矩阵。图8-5示出了在局部坐标系中三角形壳体单元刚度矩阵用平面应力和平面弯曲刚度矩阵的构成方法。(8-7)图8-5三角形壳体单元刚度矩阵用平面应力和平板弯曲刚度矩阵的构成方法单元e中任意结点i的平衡方程，在两个坐标系中分别为，式中是刚度矩阵的子矩阵。而对于局部坐标和整体坐标之间的变换公式是把(h)式代入(g)式得(g)(h)将公式(g)中的第一式左乘矩阵，并且同上式进行比较，可以得到由于是正交

10、阵，容易证明也是正交阵，即。这样就得到关于矩阵的转换公式(8-8)5.集和单元刚度矩阵及等效结点力。线作简单求和然后将它们放入整体刚度矩阵[K]和等效结点荷载列阵的相应位置上去。6.修改整体刚度矩阵，然后求解平衡方程式中是总的结点位移列阵。特别值得注意，在局部坐