高考数学艺体生百日突围专题数列的通项与求和(综合篇含答案).doc

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1、【2016年高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题三数列的通项与求和数列的通项【背一背基础知识】1.数列的通项公式:若数列的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子表示出来,记作,称作该数列的通项公式.2.等差数列的通项公式:.3.等比数列的通项公式:4.等差数列性质:若是公差为的等差数列{}的前项和,则①;②若,则;③仍是等差数列;5.等比数列性质:若是公差为的等比数列{}的前项和,则①;②若,则③仍是等差数列(其中或不是偶数);【讲一讲基本技能】1.必备技能:(1)等差数列的判定:①定义法;②等差中项法;③通项公式法;④前n项和公式法;作解答题时

2、只能用前两种方法(2)等比数列的判定:①定义法;②等比中项法;③通项公式法;④前n项和公式法;作解答题时只能用前两种方法(3)数列通项公式求法:①观察法:对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题,常用观察法,通过观察数列前几项特征,找出各项共同构成的规律,横向看各项的关系结构,纵向看各项与项数的关系时,分解所给数列的前几项,观察这几项的分解式中,哪些部分是变化的,哪些部分是不变化的,变化部分与序号的关系,,归纳出的通项公式,再用数学归纳法证明.②累加法:对于可转化为形式数列的通项公式问题,化为,通过累加得==,求出数列的通项公式,注意相加等式的个

3、数③累积法:对于可转化为形式数列的通项公式问题,化为,通过累积得==,求出数列的通项公式,注意相乘等式的个数④构造法:对于化为(其中是常数)型,常用待定系数法将其化为,由等比数列定义知{}是公比为的等比数列,由等比数列的通项公式先求出通项公式,再求出的通项公式.⑤利用前项和与第项关系求通项对递推公式为与的关系式(或),利用进行求解.注意=成立的条件是≥2,求时不要漏掉=1即=的情况,当=适合=时,=;当=不适合=时,用分段函数表示.1.典型例题例1在数列中,(1)求数列{}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.【分析】(1)已知递推式,要求通项公式,

4、我们应该把已知进行变形,看能否构成等差(比)数列,由得,从而新数列是等差数列,通项可求;(2)根据(1)求出==,利用拆项消去法即可求出该数列的前n项和.【解析】(1)由于,则,所以是首项为1公差1的等差数列,则,所以.例2例3已知在数列中,,且.(1)求数列{}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和【分析】(1)由得,即,故,,,,用累乘法得,故;(2)根据(1)求出==,利用拆项消去法即可求出该数列的前n项和.【解析】(1)∵,∴,∴.(2)因为==,所以==.例3已知数列的前项和为,且,数列中,,.()(1)求数列,的通项和(2)设,求数

5、列的前n项和.【分析】(1)由,可得当n≥2时,,两式相减可得,从而可知数列是以2为首项,2为公比的等比数列,故可得;根据,两边取倒数,可得数列是以1为首项,2为公差的等差数列,从而可求的通项;(2),所以数列的前n项和利用错位相减法可求数列的前n项和.【解析】【练一练趁热打铁】1.在数列中,其前项和满足:,(n≥2).求数列{an}的通项公式.【答案】.【解析】2.设数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)已知数列的前n项和.【答案】(1);(2)=.【解析】(1)由题意,时,,∴,,又适合上式,∴,.(2)由(1)=,所以====.数列的求和【背

6、一背基础知识】1.数列的前项和为.2.等差数列的前和公式:.3.等比差数列的前和公式:,【讲一讲基本技能】1.必备技能:(1)分组转化法有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并.(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列.(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法,也就是将一个数列倒过来排列(反序),当它与原数列相加时若有公式可提,并且

7、剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和.(4)裂项相消法利用通项变形,将通项分裂成两项或n项的差,通过相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和.这种方法,适用于求通项为的数列的前n项和,其中{an}若为等差数列,则=.常见的拆项公式:①=-;②=(-);③=(-);④=(-).2.典型例题例1数列满足,,.(1)证明:数列是等差数列;(2)设,求数列的前项和.【分析】(1)将已知等式两边同时除以即可使问题得证;(2)先由(1)得出的表达式,再用错位相减法即可求解.【解析】例2已知正项数列{},{}满足:,{}是等差数列,且对任意正整数n,

8、都有成等比数列.(1)求数列{}的通项公式;(2)求=.【分析】(1)因为成等比数列,所以,由

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