高考数学辅导三角函数解题技巧和公式.doc

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1、浅论关于三角函数的几种解题技巧一、关于的关系的推广应用：1、由于故知道，必可推出，例如：例1已知。分析：由于其中，已知，只要求出即可，此题是典型的知sin-cos，求sincos的题型。解：∵故：2、关于tg+ctg与sin±cos，sincos的关系应用：由于tg+ctg=故：tg+ctg，，sincos三者中知其一可推出其余式子的值。例2若sin+cos=m2，且tg+ctg=n，则m2n的关系为（）。A．m2=nB．m2=C．D．分析：观察sin+cos与sincos的关系：sincos=而：故：，选B。例3已知：

2、tg+ctg=4，则sin2的值为（）。A．B．C．D．分析：tg+ctg=故：。答案选A。例4已知：tg+ctg=2，求分析：由上面例子已知，只要能化出含sin±cos或sincos的式子，则即可根据已知tg+ctg进行计算。由于tg+ctg=，此题只要将化成含sincos的式子即可：解：=+2sin2cos2-2sin2cos2=（sin2+cos2）-2sin2cos2=1-2(sincos)2=1-==通过以上例子，可以得出以下结论：由于，sincos及tg+ctg三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质

3、适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sincos，求含的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（）2=1±2sincos，要进行开方运算才能求出二、关于“托底”方法的应用：在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg（或ctg）与含sin（或cos）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：例5已知：tg=3，求的值。分析：由于，带有分母cos，因此，可把原式分子、分母各项除以cos，“造出”tg，即托出底：cos；解：由

4、于tg=3故，原式=例6已知：ctg=-3，求sincos-cos2=?分析：由于，故必将式子化成含有的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin，造出ctg：解：例7（95年全国成人高考理、工科数学试卷）设，求：的值分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于，故，在等式两边同除以，托出分母为底，得：解：由已知等式两边同除以得：“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计

5、算。由于，，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用，把作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。三、关于形如：的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：可以从公式中得到启示：式子与上述公式有点相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如的式子都可以变成含的式子，由于-1≤≤1，所以，可考虑用其进行求极值问

6、题的处理，但要注意一点：不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子：中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA≤1，-1≤cosA≤1，可以如下处理式子：由于。故可设：，则，即：∴无论取何值，-1≤sin(A±x)≤1，≤≤即：≤≤下面观察此式在解决实际极值问题时的应用：例1（98年全国成人高考数学考试卷）求：函数的最大值为（AAAA）A．B．C．D．分析：，再想办法把变成含的式子：于是：由于这里：∴设：∴无论A-2x取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故≤≤∴的最大值为，即答案选A。例2（9

7、6年全国成人高考理工科数学试卷）在△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使△DEF为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sinα取何值时，△EFD的边长最短？并求此最短边长。分析：首先，由于，可知△ABC为Rt△，其中AB为斜边，所对角∠C为直角，又由于，则∠B=90°—∠A=60°，由于本题要计算△DEF的最短边长，故必要设正△DEF的边长为，且要列出有关为未知数的方程，对进行求解。观察△BDE，已知：∠B=60°，DE=，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，

8、从而产生关于的方程。在图中，由于EC=·cosα，则BE=BC-EC=1-·cosα。而∠B+∠BDE+∠1=180°∠α+∠DEF+∠1=180°∠BDE=∠α∠B=60°，∠DEF=60°∴在△BDE中，根据正弦定理：在这里，要使有最小值，必须分母：有最大值，观察：∴设：，则故：∴的最大值为。即：的最小值为：而取