平面问题的极坐标解答.ppt

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1、第四章 平面问题的极坐标解答绪 论极坐标中的平衡微分方程极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的应力函数与相容方程应力分量的坐标变换式轴对称应力和相应的位移圆环或圆筒受均布压力圆孔的孔口应力集中半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受分布力主要内容绪  论极坐标系中任一点用径向坐标r和环向坐标f表示。径向坐标从原点出发,向外为正;环向坐标从轴x向y轴转动方向为正。与直角坐标系相比:上述区别必然会引起弹性力学中物理量定义及基本方程的差异相同点:均为正交坐标系;不同点:直角坐标系中两坐标线均为直线,有固定方向,量纲均为L极

2、坐标系中径向坐标线r为直线,环向坐标线f则为圆弧曲线,不同点有不同方向,量纲分别为L和1。绪  论正负号规定:正坐标面上以沿正坐标方向为正,负向为负;负坐标面上以沿负坐标方向为正,正向为负;极座标系下应力分量的定义:选取由两条径向线和两条环向线所围成的微分体PACB,厚度为1。沿r方向的正应力称为径向正应力,用sr表示;沿j方向的正应力称为环向正应力或切向正应力,用sj表示;切应力用trj及tjr表示绪  论体力:径向及环向的体力分量分别用fr和fj表示,以沿正坐标方向为正,负向为负。面力:径向及环向的面力分量分别用和

3、表示,以沿正坐标方向为正,负向为负。极座标系下外力的定义绪  论采用极坐标系求解的适用性:对于由径向线或圆弧线所围成的圆形、圆环形、楔形、扇形等弹性体,由于用极坐标表示其边界线非常方便,从而使得边界条件的表示和基本方程的求解得到很大的简化,宜用极坐标求解。绪 论极坐标中的平衡微分方程极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的应力函数与相容方程应力分量的坐标变换式轴对称应力和相应的位移圆环或圆筒受均布压力圆孔的孔口应力集中半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受分布力主要内容§4.1极坐标中的平衡微分方程考虑问题的基础知识

4、:平面上的静力学知识分析问题方法:在弹性体内任一点选取一个微分单元体,然后分析其平衡条件(平面力系和力矩)微分体:如图由夹角为df的两径向线和距离为dr的两环向线围成§4.1极坐标中的平衡微分方程                    注意事项注意:(1)两f面不平行,夹角为df;(2)两r面PB和AC的面积不相同,分别为rdf×1和(r+dr)df×1,但两者平行;(3)两f面PA和BC的面积均为dr×1,但两者不平行。§4.1极坐标中的平衡微分方程                    受力分析微分体上的受力:(1

5、)体力-fr和ff,以坐标轴正向为正;(2)应力-负r面PB和负f面PA的应力sr、trj、sj、tjr,正r面AC和正f面BC上的应力根据级数展开求出。§4.1极坐标中的平衡微分方程                    平衡条件应用假设:连续性和小变形与直角坐标中相似,利用级数展开,可求出各微面上的应力。力矩平衡条件:由通过中心点并平行于Z轴的直线为转轴,根据力矩的平衡条件,可推导出“切应力互等定理”,即极坐标中的平衡微分方程力系平衡条件:将微分体所受各力分别投影到微分体中心的径向轴和环向轴上,可分别列出径向和环向

6、的平衡方程,即极坐标中的平衡微分方程其中可取--通过形心C的r向合力为0极坐标中的平衡微分方程上式中一阶微量相互抵消,保留到二阶微量,得式(a)中1、2、4项与直角坐标的方向相似;而--是由于+r面面积大于-r面面积而引起的--是由于±f面上的sf在C点的r向有投影极坐标中的平衡微分方程--通过形心C的f向合力为0略去三阶微量,保留到二阶微量,得极坐标中的平衡微分方程式(a)中1、2、4项与直角坐标的方向相似;而--是由于+r面面积大于-r面面积而引起的--是由于±f面上的切应力tfr在C点的f向有投影平衡微分方程:注

7、意事项列平衡条件时,应力和体力应分别乘以其作用面积和体积,才能得到合力;应用了两个基本假设:连续性假设和小变形假设,这也是其适用的条件;平衡微分方程表示了平面区域内任一点的平衡条件平面应力问题和平面应变问题的平衡微分方程相同绪 论极坐标中的平衡微分方程极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的应力函数与相容方程应力分量的坐标变换式轴对称应力和相应的位移圆环或圆筒受均布压力圆孔的孔口应力集中半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受分布力主要内容§4.2极坐标中的几何方程与物理方程极坐标系中的应变分量:径向线应变er:径向线

8、段的线应变环向线应变ej:环向线段的线应变切应变grj:径向和环向两线段间直角的改变极坐标系中的位移分量:径向位移ur:径向方向的位移环向位移uj:环向方向的位移几何方程:表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式极坐标中的几何方程与物理方程微分线段:如图从弹性体内任一点(r,f)沿两个坐标正向作微分线段PA和PB:PA=drPB=

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