全国各地2012年中考数学分类解析(159套63专题)专题63 押轴的解答题专集(1).doc

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1、2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题63：押轴的解答题专集（1）锦元数学工作室编辑三、解答题1.（2012北京市7分）在中，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ。（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，

2、M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出的范围。【答案】解：（1）补全图形如下：∠CDB=30°。（2）作线段CQ的延长线交射线BM于点D，连接PC，AD，∵AB=BC，M是AC的中点，∴BM⊥AC。∴AD=CD，AP=PC，PD=PD。在△APD与△CPD中，∵AD=CD，PD=PD，PA=PC∴△APD≌△CPD（SSS）。∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD。又∵PQ=PA，∴PQ=PC，∠ADC=2∠CDB，∠PQC=∠PCD=∠PAD。∴∠PAD+∠PQD=

3、∠PQC+∠PQD=180°。∴∠APQ+∠ADC=360°－（∠PAD+∠PQD）=180°。∴∠ADC=180°－∠APQ=180°－2α，即2∠CDB=180°－2α。∴∠CDB=90°－α。（3）45°＜α＜60°。【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，。【分析】（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ是等边三角形，即可得出答案：∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，∴BM⊥AC，AM=AC。∵将线段PA绕点P顺时针

4、旋转2α得到线段PQ，∴AM=MQ，∠AMQ=120°。∴CM=MQ，∠CMQ=60°。∴△CMQ是等边三角形。∴∠ACQ=60°。∴∠CDB=30°。（2）首先由已知得出△APD≌△CPD，从而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出。（3）由（2）得出∠CDB=90°－α，且PQ=QD，∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°－2α。∵点P不与点B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD。∴2α＞180°－2α＞α，∴45°＜α＜60°。2.（2012北京市8分）在平面直角坐标系xo

5、y中，对于任意两点P1（x1,y1）与P2（x2,y2）的“非常距离”，给出如下定义：若∣x1－x2∣≥∣y1－y2∣，则点P1与点P2的“非常距离”为∣x1－x2∣；若∣x1－x2∣＜∣y1－y2∣，则点P1与点P2的“非常距离”为∣y1－y2∣.例如：点P1（1,2），点P2（3,5），因为∣1－3∣＜∣2－5∣，所以点P1与点P2的“非常距离”为∣2－5∣=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）。（1）已知点，B为y轴上的一个动点，①若点A与

6、点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标。【答案】解：（1）①（0，－2）或（0，2）。②。（2）①设C坐标为，如图，过点C作CP⊥x轴于点P，作CQ⊥y轴于点Q。由“非常距离”的定义知，当OP=DQ时，点C与点D的“非常距离”最小，

7、∴。两边平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。∴点C与点D的“非常距离”的最小值距离为，此时。②设直线与x轴和y轴交于点A，B，过点O作直线的垂线交直线于点C，交圆于点E，过点C作CP⊥x轴于点P，作CQ⊥y轴于点Q，过点E作EM⊥x轴于点M，作EN⊥y轴于点N。易得，OA=4，OB=3，AB=5。由△OAB∽△MEM，OE=1，得OM=，ON=。∴。设C坐标为由“非常距离”的定义知，当MP=NQ时，点C与点E的“非常距离”最小，∴。两边平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。∴点C与点E的“非常距离”的最小值距离为1

8、，此时，。【考点】新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性质。【分析】（1）根据“非常距离”的定义可直接求出。（2）①解题关键是，过C点向x、y轴作垂线，当CP和CQ长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C点到达C’点，其与