二。轴对称提高练习及解析.docx

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1、轴对称拓展提高题一．解答题（共40小题）1．（长春模拟）如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，若AB=4，求AE长．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵AB=4，∴AE=4．2．（饶平模拟）已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD②∠APB=60°．（2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为　　，∠APB的大小为　α　（直接写出结

2、果，不证明）【解答】解：（1）①证明：∵∠AOB=∠COD=60°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，∴∠AOC=∠BOD．在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD；②证明：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB，∴∠OAC+60°=∠OBD+∠APB，∴∠APB=60°；（2）AC=BD，∠APB=α．3．（房山一模）已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明

3、你的猜想；（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．【解答】（1）猜想：AP=BP+PC证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE，∵∠BPC=120°，∴∠CPE=60°，又PE=PC，∴△CPE为等边三角形，∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠BCA=60°，∴∠ACB=∠PCE，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，即：∠ACP=∠BCE，∴△ACP≌△BCE（SAS），∴AP=BE，∵BE=BP+PE，∴AP=BP+PC．（2）证

4、明：在AD外侧作等边△AB′D，则点P在三角形ADB′外，连接PB'，B'C，∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD，在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，∴PA+PD+PC＞CB′，∵△AB′D、△ABC是等边三角形，∴AC=AB，AB′=AD，∠BAC=∠DAB′=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD，即：∠BAD=∠CAB′，∴△AB′C≌△ADB，∴CB′=BD，∴PA+PD+PC＞BD．4．（安徽模拟）在等边三角形ABC中，D、E分别在边BC、AC上，DC=AE，AD、BE交于点F，（1）请你

5、量一量∠BFD的度数，并证明你的结论；（2）若D、E分别在边BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否成立，请画图证明你的结论．【解答】解：（1）∠BFD=60°在等边三角形ABC与三角形CDA中，AB=AC，∠BAE=∠C=60°，AE=CD，∴△AEB≌△CDA．∴∠AEB=∠CDA，又∠DAC+∠ADC=180°﹣∠C=120°，∴∠AEB+∠DAC=120°，∴∠AFE=∠BFD=60°（2）∵∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAB=∠ACD=120°，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD，∴∠E=∠D

6、，∵∠EAF=∠CAD，∠CAD+∠D=60°，∴∠EAF+∠E=60°，∴∠BFD=60°．5．（黑龙江模拟）等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB；（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明．【解答】证明：（1）如图1，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．∴∠DAE﹣∠CAD=∠BAC﹣∠CAD．即∠CAE=∠BAD．在△C

7、AE和△BAD中，∵，∴△CAE≌△BAD（SAS）．∴EC=DB（全等三角形的对应边相等）；∴CE+CD=DB+CD=BC=AB，即CE+CD=AB；（2）CE+CD=AB；理由如下：如图2，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE．即∠CAE=∠BAD．在△CAE和△BAD中，∵，∴△CAE≌△BAD（SAS）．∴EC=DB（全等三角形的对应边相等）；∴CE+AB=DB+BC=CD，即CE+AB=CD．6．（安徽模拟）如图，D是等边△AB

8、C的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：（1）AG=AD；（2）DF=EF；（3）S△DGF=S△ADG+S△ECF．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°