2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念讲义新人教A版选修2.doc

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1、1．5.3　定积分的概念1．定积分的概念一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

2、x)以及直线x＝a，x＝b围成的曲边梯形的面积．4．定积分的基本性质(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)．(2)[f(x)±g(x)]dx＝f(x)dx±g(x)dx.(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a

3、位于x轴下方的曲边图形面积时，定积分的值为0(图③)，且等于位于x轴上方的曲边图形面积减去位于x轴下方的曲边图形面积．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f(x)dx＝f(t)dt.(　　)(2)f(x)dx的值一定是一个正数．(　　)(3)(x2＋2x)dx＝x2dx＋2xdx.(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)√-11-　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究1　　利用定义计算定积分例1　利用定积分的定义，计算(3x＋2)dx的值．[解]　令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小

4、区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.(2)近似代替、求和取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则Sn＝f()·Δx＝·＝＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5＝×＋5＝－.(3)取极限(3x＋2)dx＝Sn＝＝.拓展提升利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、取极限”这一过程．其中：-11-(1)在近似代替时，可以选取每个小区间的左端点、右端点、区间中点、区间端点的几何平均数等相应的函数值来代替该区间的函数值；(2)将“近似代替、求和”作为一个步骤来处理，其条理性更强．【跟踪训练1】　求由直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线f(x)＝x2＋2x

5、＋1围成曲边梯形的面积．解　将区间[0,1]等分成n个小区间，则第i个小区间为，等i个小区间的面积为ΔSi＝f·＝·，Sn＝·＝(12＋22＋32＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)＋1＝·＋·＋1＝＋＋2，S＝Sn＝＝，所以所求的曲边梯形的面积为.-11-拓展提升利用定积分所表示的几何意义求f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．-11-解　(1)如图1，阴影部分面积为＝，从而(3x＋2)dx＝.图1　　　　　　　图2-11-探究3　　利用定积分的

6、性质求定积分例3　已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求：(1)(3x3)dx；(2)(6x2)dx；(3)(3x2－2x3)dx.[解]　(1)(3x3)dx＝3x3dx＝3＝3×＝12.-11-(2)(6x2)dx＝6x2dx＝6＝6×＝126.(3)(3x2－2x3)dx＝(3x2)dx－(2x3)dx＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝7－＝－.拓展提升【跟踪训练3】　已知f(x)＝求f(x)在区间[0,5]上的定积分．-11-1.求阴影部分面积可分两类：(1)规则图形：按照面积的相关公式直接计算；(2)不规则图形：转化为规则图形或曲边梯形

7、，再求面积的和或差，曲边梯形面积利用定积分来计算；改变积分变量，使问题简化.2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.1．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象在x轴上方，且图象从左至右上升，则求由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b(a≠b)及x轴围成的平面图形的面积S时，将区间[a，b]n等分，用每个小区间的左端点的函数值计算出面积为S1，用每个小区间的右端点的函数值计算出面积为S2，则有(　　)A．S1