2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理讲义新人教A版选修2.doc

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1、1．3.1　二项式定理知识点　二项式定理及其相关概念1．二项式定理二项展开式：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理，其中各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．特别地，(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn(n∈N*)．结构特点：(1)各项的次数都等于二项式的幂指数n；(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；(3)共有n＋1项．2．二项展开式的通项(a＋b)n的二项展开式中

2、的第k＋1项Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Can－kbk.(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)1．注意区分项的二项式系数与系数的概念二项展开式的第r＋1项的二项式系数是C，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第r＋1项的系数则是二项式系数C与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是C，而第二项的系数则是C·24.注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数．2．要牢记Can－kbk是展开式的第k＋1项，不要误认为

3、是第k项．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　)(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．(　　)(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×-7-2．做一做(1)16的二项展开式中第4项是________．(2)展开4为________．(3)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．答案　(1)－560x10　(2)1＋＋＋＋　(3)10解析　(1)展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x16

4、－r·r＝(－1)r·C·x16－2r，所以第4项为T4＝(－1)3C·x10＝－Cx10＝－560x10.(2)4＝1＋C＋C2＋C3＋4＝1＋＋＋＋.(3)T4＝Cx2y3含x2y3的项的系数是C＝10.探究　　二项式定理的正用与逆用例1　(1)若f(x)＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋4，则f(2019)－f(－2019)的值为________；(2)求4的展开式．[解析]　(1)根据f(x)的解析式，逆用二项式定理，得f(x)＝[(x－1)＋1]4＋3＝x4＋3.显然f(－x)＝f(x)，即f(x)

5、为偶函数，∴f(2019)－f(－2019)＝0.(2)解法一：4＝C()4－C·()3·＋C()2·2－C·3＋C4＝x2－2x＋－＋.解法二：4＝4＝(2x－1)4＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋－＋.[答案]　(1)0　(2)见解析拓展提升二项式定理的双向功能(1)正用：将二项式(a＋b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n-7-的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解

6、，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．　(1)用二项式定理展开4；(2)化简1＋2C＋4C＋…＋2nC.解　(1)解法一：4＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.解法二：4＝4＝(1＋3x)4＝[1＋C(3x)＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.(2)1＋2C＋4C＋…＋2nC＝C＋21C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n.探究　　利用二项式定理求某些特定项例2　已知n的

7、展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数及二项式系数；(3)求展开式中所有的有理项．[解]　(1)由题意得，Tr＋1＝C()n－r·r＝(－1)rrCx(r＝0,1,2，…，n)．∴T6＝T5＋1＝(－1)5·5C·x，又第6项为常数项，∴＝0，∴n＝10.(2)由(1)知Tr＋1＝(－1)rr·C·x，-7-令＝2，得r＝2.∴x2的系数为(－1)2·2·C＝.含x2这一项的二项式系数为C＝45.(3)由题意得，为整数，其中0≤r≤10，r∈Z.∵Tr＋1为有理项，∴为有理数，∴10－2r＝0，或10－2r＝6，

8、或10－2r＝－6，得r＝5或r＝2或r＝8.∴有理项为T3＝C2x2＝x2，T6＝C5＝－，T9＝C8·x－2＝x－2.拓展提升求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意