2017年上海春考数学试卷.doc

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1、2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设集合,集合,则.2.不等式的解集为。3.若复数满足（是虚数单位），则。4.若，则。5.若关于、的方程组无解，则实数。6.若等差数列的前项的和为，则=。7.若、是圆上的动点，则的最大值为。8.已知数列的通项公式，则。9.若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为。10.设椭圆的左、右焦点分别为、，点在该椭圆上，则使得是等腰三角形的点的个数是。1

2、1.设为的一个排列，则满足的不同排列的个数为。12.设，，函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围为。二、选择题13.函数的单调递增区间是（）。-14-(A)(B)(C)(D)14.设，“”是“”的（）。(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件15.过正方体中心（即到正方体的八个顶点距离相等的点）的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）。(A)三角形(B)长方形(C)对角线不相等的菱形(D)六边形16.如图所示，正八边形的边长为.若为该正八边形上的动点，则的取值范围为（）(A)(B)(C)

3、(D)三、解答题17.如图，长方体中，,.（1）求四棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.18.设,函数.（1）求的值，使得为奇函数；（2）若对任意成立，求的取值范围.-14-19.某景区欲建造两条圆形观景步道、（宽度忽略不计），如图所示，已知，（单位：米），要求圆与、分别相切于点、，圆与、分别相切于点、.（1）若，圆和圆的半径（结果精确到0.1米）；（2）若观景步道与的造价分别为每米千元与每米千元。如何设计圆、的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）。20.已知双曲线：（），直线：（），与交于、两点，为关

4、于轴的对称点，直线与轴交于点.（1）若点是的一个焦点，求的渐近线方程；（2）若，点的坐标为，且，求的值；（3）若，求关于的表达式。21.已知函数（1）解方程；（2）设，，证明：且;（3）设数列中，，，,求的取值范围，使得对任意成立.-14-2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设集合,集合,则.【知识点】集合的运算【解】，故.2.不等式的解集为。【知识点】绝对值不等式的解法【解】，故原不等式的解集为。

5、3.若复数满足（是虚数单位），则。【知识点】复数的基本概念、运算【解】，，故。4.若，则。【知识点】诱导公式【解】，故.5.若关于、的方程组无解，则实数。【知识点】线性方程组解的判定【解】方程组无解直线：与直线：互相平行，所以，解得。6.若等差数列的前项的和为，则=。-14-【知识点】等差数列的前项和，等差中项【解】由得，所以，故.7.若、是圆上的动点，则的最大值为。【知识点】圆的一般方程，圆的性质【解】由得，所以半径，故的最大值为2.8.已知数列的通项公式，则。【知识点】等比数列的前项和，数列极限【解】由得首项，公比，所以，故9.若的

6、二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为。【知识点】二项式定理【解】令，则，解得；所以展开式的通项令，则,故所求的常数项为160.10.设椭圆的左、右焦点分别为、，点在该椭圆上，则使得是等腰三角形的点的个数是。【知识点】椭圆的标准方程及其性质，分类讨论思想-14-【解】由得，所以，故且.（1）若点位于椭圆的短轴的端点处，是等腰三角形，此时点有两个；（2）若点在椭圆上，则；.，所以,故以为两腰、为底边构成等腰三角形，此时点有两个；同理以为两腰、为底边构成等腰三角形，此时点有两个；综上（1）（2）满足条件的点的个数为6个。

7、11.设为的一个排列，则满足的不同排列的个数为。【知识点】排列、组合【解】根据题意可知，若；，且，则即的最小值为1，当时，只有，所以在与中选出一个，在与中选出一个，在与中选出一个，然后将选出的三个元素全排列，故不同排列的总数为.12.设，，函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围为。【知识点】函数性质的综合，不等式的基本性质【解】方法1令函数在区间上有两个不同的零点分别为、,且，所以、，故、……（*）令，则，即（）……（**）故、是（**）的解，所以-14-于是由（*）可知，即。方法2由于函数在区间上有两个不同的零点，则必有。且，即，

8、此时（当且仅当时，等号成立）令，即记，，则函数在区间上与函数的图像有两个不同的交点。由于，再令得（1）若，则，则可行域为，其端点分别为、、。所以当或时，；当时，。此时；（2）若，则，则，即，所以，此时；（3