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1、4.2角平分线第一章三角形的证明知识回顾证明一个命题的一般步骤:(1)弄清题设和结论；(2)根据题意画出相应的图形；(3)根据题设和结论写出已知和求证；(4)分析证明思路,写出证明过程。角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).AOCBPDE知识回顾1.角平分线的性质定理.在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E，且PD=PE,∴点P在∠AOB的平分线上.(
2、在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).AOCB12PDE2.角平分线的性质的逆定理.已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.用尺规作角的平分线.作法:1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC.则射线OC就是∠AOB的平分线.ABOCDE作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．自主预习剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平
3、分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．结论:三角形三个角的平分线相交于一点.怎样证明这个结论呢?点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可。命题:三角形三个角的平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足。求证：∠A的角平分线经过点P，且PD=PE=PF．PDEFABCMN新知探究证明：∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相
4、等.)同理：PE=PF．∴PD=PF=PE．∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.)即∠A的角平分线经过PDEFABCMN定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知),∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心.ABCPMND
5、EF例.如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.老师期望:你能正确地解答并规范地写出其过程.完成后与同学交流一下。EDABC如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?ABC老师提示:三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点，这个的点叫做三角形的傍心，这样点有三个。定理：角平分线上
6、的点到这个角的两边距离相等.逆定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).知识梳理1.已知:如图,∠C=900,∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线.求证:BD=2CD.ABCD随堂练习2.已知:如图,△ABC的外角∠CBDT和∠BCE的角平分线相交于点F.求证:点F在∠DAE的平分线上.ABCFDE3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.求证:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂
7、直平分线.BAPDCO
