2011年常微分期末考试题B.doc

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1、陕西科技大学试题纸课程常微分方程班级　　　　　学号姓名题号一二三四五六七八九十总分得分阅卷人一、填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)1、微分方程的阶数是，是否为齐次线性方程.2、当满足时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。3、若为齐次线性方程的个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为4、方程的常数解是．5、方程的特解可设为________________二、单选题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)1、1.______A.B.C.D.2、的通解为_________（为任意常数）A.B.C.D.3

2、、.微分方程的公共解为_______A.B.C.D.4、的积分因子为_______A.B.C.D.5、函数与______．A．均为常正的B．均为定正的　C．常正，定正D．定正，常正三、解下列微分方程（本题共5小题，分值:6+6+6+6+12，满分36分）1、求方程2、求方程的通解3、求方程的通解4、求解方程的通解5、求解方程的一个特解四、（本题10分）试求方程组的解五、证明题（本题共2小题，分值:10+9，满分19分）1、证明方程解存在唯一性.2、给定方程，其中在上连续，设是上述方程的两个解。证明极限存在。陕西科

3、技大学试题纸课程常微分方程参考答案班级数学信息091-2　　　　　学号姓名题号一二三四五六七八九十总分得分阅卷人一、填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)1、微分方程的阶数是3，是否为齐次线性方程否.2、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是________　其中C为n*n奇异矩阵__________________。3、初值问题的解满足积分方程。4、是恰当方程,则。5、二维平面自治系统的奇点，当参数满足条件时，为稳定的奇点。二、单选题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)1、一阶线性方程的积分因子是__

4、_B___．A．B．C．　D．2、方程通过点的解的最大存在区间是___A___．A.(2，)B.(0，)C.(-)D.(-,3)3、曲线满足方程____C__．A．B．C．D．4、如果是二阶线性方程的解，则下列是的解的是__C____．A．B．　C．　D．5、函数与___D___．A．均为常正的B．均为定正的　C．常正，定正D．定正，常正三、解下列微分方程（本题共5小题，分值:6+6+6+6+12，满分36分）4、求方程解：这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分代入原方程

5、得到，这是线性方程，求得它的通解为z=．．２分带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分1、解因为，所以原方程是全微分方程取，原方程的通解为即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分2、解：令则原方程消去后，有由此，得所以故原方程的通解为　………………………………１分3、（２xy+解：因为　　又因为　　所以方程有积分因子：u(x)=方程两边同乘以得：［也即方程的解为　．5、;解：的通解是,设原方

6、程的特解是,将代入原方程得,所以有,所以原方程的通解是;四、（本题10分）试求方程组的解解：得取得取则基解矩阵因此方程的通解为：……………2分五、证明题（本题共2小题，分值:10+9，满分19分）1、证明方程解存在唯一性.证明：构造等价积分式，两端求导得原方程，所以构造积分式与原问题同解；………………………………………………2分进行迭代；……………………………………………………2分证明迭代的序列是收敛的由于构造的迭代序列收敛于一级数，及，证明是收敛的；………………………………………………2分证明收敛到的级数极为方

7、程的解给求极限得：，所以是方程的解……………………2分证明解是唯一的设均为方程的解，并且两者不相等，则，；而当x=0时，G(0)=0，，与相矛盾，所以解是唯一的.证毕.………………………………………………………………………2分2、个方程构成的齐次线性微分方程组一定存在个线性无关解向量。证明:任取，根据解的存在唯一性定理，……………………………2分x=A(t)x分别满足初值条件………………………………………2分的解一定存在.………………………………………………2分又因为这n个解的朗斯基行列式，所以一定是线性无关的，

8、即证的所求。…………………………3分