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1、第八章 立体几何第23讲空间几何体的三视图及表面积与体积1.柱体、锥体、台体、球的结构特征(1)多面体的结构特征(2)旋转体的形成2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式(2)空间几何体的表面积与体积公式3.三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法①基本要求:长对正,高平齐,宽相等.②画法规则:正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽;看不到的线画虚线.4.直观图(1)画法:常用斜二测画法.(2)规则:①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观
2、图中,x'轴,y'轴的夹角为45°(或135°),z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.5.求空间几何体体积的常用方法①公式法:直接根据相关的体积公式计算.②等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.③割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.题型一空间几何体的三视图(高频考点)空间几何体的三视图是每年高考的热点,可以单独考查,也常
3、与表面积、体积综合考查.主要命题角度有:①已知几何体,识别三视图;②已知三视图,判断几何体;③已知几何体的某些视图,判断其他视图.【例1】(1)(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()(2)如图所示,四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A.①②⑥B.①②③C.④⑤⑥D.③④⑤【解析】(1)由三视图还原为如图所示的四棱锥A-BCC1B1,从图中易得最长的棱长为(2)正视图应该是相邻两边长为3和4的矩形,其对角线左下到右上是实线,左上到右下是虚线
4、,因此正视图是①;侧视图应该是相邻两边长为5和4的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此侧视图是②;俯视图应该是相邻两边长为3和5的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此俯视图是③,故选B.【答案】(1)B(2)B【规律方法】三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线,不能看到的部分用虚线表示.(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图.先根据已知的一部分视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出
5、的部分三视图是否符合.(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.变式训练一1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点(如图),用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为()ABCDC【解析】过点A,E,C1的截面为AEC1F,如图,则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形,故选C.2.某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台A【解析】因为正视图和侧视图都为三角形,可知几何体为锥形,又因为俯视图为三角形,故
6、该几何体为三棱锥.3.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图,则该几何体的侧视图为()ABCDB【解析】由三视图的画法规则:长对正、高平齐、宽相等可知,选项B正确.题型二空间几何体的直观图【例2】(1)已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为()(2)如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6cm,O'C'=2cm,则原图形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形【解析】(1)如图①②所示的实际图形和直观图,①②【答案】(1)D(2)C【规律方法】(1)用斜二测画法画直观图的技巧:在原图形中
7、与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x'轴或y'轴平行,原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.(2)平面图形直观图与原图形面积间的关系:对于几何体的直观图,除掌握斜二测画法外,记住原图形面积S与直观图面积S'之间的关系S'=S,能更快捷地进行相关问题的计算.变式训练二如图,一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则该平面图形的面积为.题型三空间几何体的表面积和体积【例3】(1)从一个正方体