2、ABC中,A+B+C=π;变形:=-.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sinC;(2)cos(A+B)=-cosC;(3)sin=cos;(4)cos=sin.3.三角形中的射影定理在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(✕)(2)在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B.(√)(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素,可求其他元素.(✕)(4)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC为锐角三角
3、形;当b2+c2-a2=0时,三角形ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,三角形ABC为钝角三角形.(✕)(5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.(√)答案(1)✕(2)√ (3)✕(4)✕(5)√2.在△ABC中,若a=2,c=4,B=60°,则b等于( )A.2B.12 C.2D.28答案A 由b2=a2+c2-2accosB,得b2=4+16-8=12,所以b=2.A3.在△ABC中,化简bcosC+ccosB的结果为( )A.aB.bC.cD.b答案AbcosC+ccosB=b·+c·=+==a.A4.在△ABC中,已知b=40,c
4、=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( )A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定答案C 由正弦定理得=,∴sinB===>1.∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.C5.(2018课标全国Ⅱ,7,5分)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=( )A.4B.C.D.2答案A 本题考查半角公式和余弦定理.∵cosC=2cos2-1=2×-1=-,BC=1,AC=5,∴AB===4.故选A.A6.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于.答案2解析∵=,∴sinB=1,∴B=90°,∴AB=2
5、,∴S△ABC=×2×2=2.利用正、余弦定理解三角形命题方向一 求边长考点突破典例1(2018贵州贵阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边a,b,c成公差为2的等差数列,C=120°.(1)求边长a;(2)求AB边上的高CD的长.解析(1)由题意得b=a+2,c=a+4,由cosC=得cos120°=,即a2-a-6=0,∴a=3或a=-2(舍去),∴a=3.(2)解法一:由(1)知a=3,b=5,c=7,由三角形的面积公式得absin∠ACB=c×CD,∴CD===,即AB边上的高CD=.解法二:由(1)知a=3,b=5,c=7,由正弦定理得==,则sinA=,在
6、Rt△ACD中,CD=ACsinA=5×=,即AB边上的高CD=.命题方向二 求角典例2(2018河北“五个一名校联盟”模拟)已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,且c=2,C=,若sinC+sin(B-A)=2sin2A,则A=.答案或解析在△ABC中,由sinC+sin(B-A)=2sin2A可得sin(A+B)+sin(B-A)=2sin2A,即sinAcosB+cosAsinB+cosAsinB-sinAcosB=4sinAcosA,∴cosAsinB=2sinAcosA,即cosA(sinB-2sinA)=0,即cosA=0或sinB=2sinA
7、.①当cosA=0时,A=;②当sinB=2sinA时,根据正弦定理得b=2a,由c2=b2+a2-2abcosC,结合c=2,C=,得a2+b2-ab=4,∴a=,b=,∴b2=a2+c2,∴B=,∴A=.综上可得,A=或.方法技巧应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边:利用公式a=,b=,c=或其他相应变形公式求解.(2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sinA=,sinB=,sinC=或其他相应变形公式求解.(3)已知两边及其夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子的特点转化.如出现a2+b2-c2=λ
