阅读与思考海伦和秦九韶.pptx

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1、1.2应用举例—海伦与秦九韶公式织金县第一中学：姜锋时间：2019年5月16号一.阅读引领，师生探究.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261），在他的著作《算数九章》卷五“田域类”里有这样一个题目：“问有沙田一段，有三斜.其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知几何.”意思是已知一个三角形的三边长分别为13里，14里，15里，则这个沙田的面积为多少？思考:如何将上述问题转化为数学问题呢？A小斜一十三里中斜一十四里BC大斜十五里能否用已学的数学知识来解决这个数学问题？AcbBCa海伦公式：已知三边长分别为a

2、,b,c,则的面积为：其中海伦的生平海伦（Heron），古希腊数学家.生卒于亚历山大城.他擅长测量，给出了多种求图形面积和体积的定理和公式，最著名的是已知三边长求三角形面积的海伦公式.海伦有许多学术著.主要著作有《量度论》，《体积求法》，《几何》等.二.古希腊数学古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展.三角术是人们为了建立定量的天文学，以便用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的.在解三角形问题中.一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a,b,c

3、,直接求出三角形的面积.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了公式:但现在人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量术》中给出证明，海伦公式的特点是形式很美，大家很容易记住公式.，其中思考：通过你对古希腊数学文化的了解，对于已知三角形三边求三角形面积的数学问题你是否有一定的启发?三、学习中国文化，增强民族自信心我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）在他的著作《算数九章》也提到了与海伦公式等价的从三角形的三边

4、求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，《算数九章》中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方的积.”如果把以上这段文字写成公式，就是：三斜求积公式与公元1世纪古希腊数学家海伦给出的公式殊途同归,他虽然与海伦公式形式上不一样，但两者完全等价.它填补了我国传统数学的空白，从中可以充分说明我国古代已具有很高的数学水平.思考：怎样证明这两个公式相等？，其中秦九韶生平秦九韶，字道古.鲁郡（今河南范县）人.中国古代数学家.南宋嘉定元年（1208年）生；约景定（1261年

5、）年被贬至梅州，咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世，时年61岁.《算数九章》全书九章十八卷，九章九类：“大衍类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”，每类9题（9问）共计81题（81问），该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，尤其是系统总结和发展了高次方程的数值解法与一次同余问题的解法，提出了相当完备.”正负开方术”和”大衍求一术”对数学发展产生了广泛的影响.大衍求一术秦九韶的“大衍求一术”，被康托尔称为“最幸运的天才”.秦九韶所发明的

6、“大衍求一术”，即现代数中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的成就之一，比西方1801年著名数学家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”正负开方术秦九韶在《数书九章》中除“大衍求一术”外，还创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳（W·G·Horner，1786—1837年）的同样解法早572年.秦九韶的成就也代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位.四、合作探究，其中古希腊数学家海伦运用平面知识，证明

7、海伦面积公式.中国古代数学家秦九韶只给出公式，用来解决已知三角形三边求三角形面积这类问题的计算.你能通过已学知识给出秦九韶面积公式的证明吗？证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,设，那么.由于AD是△ABD、△ACD的公共边.五、应用举南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式,若的周长为用“三斜求积术”求面积=________;[针对训

8、练]中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b,c.三角形的面积可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足则此三角形面积的最大值=_