六年级奥数10、余数问题.doc

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1、10、余数问题  【求余数】      (1990年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题)  一组,就可得到331组,尚余4个6。  而6666÷7=952……2。所以,原式的余数是2。  例29437569与8057127的乘积被9除,余数是__。  (《现代小学数学》邀请赛试题)  讲析:一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。  9437569各位数字之和除以9余7;8057127各位数字之和除以9余3。  7×3=21,21÷9=2……3。  所以,9437569与8057127的乘积被9除,余数是3

2、。  例3在1、2、3、4、……、1993、1994这1994个数中,选出一些数,使得这些数中的每两个数的和都能被26整除,那么这样的数最多能选出_______个。  (1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题)  讲析:可将1、2、3、……、1994这1994个数,分别除以26。然后,按所得的余数分类。  要使两个数的和是26的倍数,则必须使这两个数分别除以26以后,所得的余数之和等于26。  但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数,故26的倍数符合要求。这样的数有1994÷26=76(个)……余18(个)。但被26除余1

3、3的数,每两个数的和也能被26整除,而余数为13的数共有77个。  所以,最多能选出77个。  【同余问题】  例1一个整数,除300、262、205,得到相同的余数(余数不为0)。这个整数是_____。  (全国第一届“华杯赛”初赛试题)  讲析:如果一个整数分别除以另两个整数之后,余数相同,那么这个整数一定能整除这两个数的差。因此,问题可转化为求(300—262)和(262—205)的最大公约数。  不难求出它们的最大公约数为19,即这个整数是19。  例2小张在计算有余数的除法时,把被除数113错写成131,结果商比原来

4、多3,但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少?(1989年上海市小学数学竞赛试题)  讲析:被除数增加了131-113=18,余数相同,但结果的商是3,所以,除数应该是18÷3=6。又因为113÷6的余数是5,所以该题的余数也是5。  例3五只猴子找到一堆桃子,怎么也平分不了,于是大家同意去睡觉,明天再说。夜里,一只猴子偷偷起来,吃掉一只桃子,剩下的桃子正好平分五等份,它拿走自己的一份,然后去睡觉;第二只猴子起来,也吃掉一只桃子,剩下的桃子也正好分成五等份,它也拿走了自己的一份,然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问:最初

5、至少有______个桃子。  (哈尔滨市小学数学竞赛试题)  讲析:因为第一只猴子把桃5等分后,还余1个桃;以后每只猴子来时,都是把前一只猴子剩下的4等份再分成5等份,且每次余1个桃子。于是,我们可设想,如果另加进4个桃子,则连续五次可以分成5等份了。  加进4个桃之后,这五只猴每次分桃时,不再吃掉一个,只需5等份后,拿走一份。  因为4与5互质,每次的4份能分成5等份,这说明每次等分出的每一份桃子数,也能分成5等份。这样,这堆桃子就能连续五次被5整除了。所以,这堆桃子至少有5×5×5×5×5-4=3121(个)。  例4在1

6、、2、3、……、30这30个自然数中,最多能取出______个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数。  (上海市第五届小学数学竞赛试题)  讲析:我们可将1到30这30个自然数分别除以7,然后按余数分类。  余数是0:7、14、21、28  余数是1:1、8、15、22、29  余数是2:2、9、16、23、30  余数是3:3、10、17、24  余数是4:4、11、18、25  余数是5:5、12、19、26  余数是6:6、13、20、27  要使两数之和不是7的倍数,必须使这两个数分别除以7所得的余

7、数之和不等于7。  所以,可以取余数是1、2、3的数,不取余数是4、5、6的数。而余数为0的数只取一个。  故最多可以取15个数。

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