[精品]反例教学与学生思维品质的培养.doc

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1、反例教学与学生思维品质的培养反例教学与学生思维品质的培养摘要：美国数学家B・R盖尔鲍姆说：“冒着过于简单化的风险，我们可以撇开定义、陈述以及艰苦的工作不谈，数学由两大类证明与反例组成,而数学发现也朝着两个目标一一提出证明和构造反例。可见反例在整个数学教学和研究中的作用。关键词：数学；反例教学中图分类号:G633.6文献标识码:A文章编号：1006-3315(2013)03-020-002在数学史上，恰当的反例也是推动数学发展的动力。常常有这样的情形，一个重耍的猜想数学家很长时间没能证明它，结果有人举出一个反例否定了这个猜想，使问题得到了解决°1644年，法国修道士马

2、林・默森宣称MP=2P-1型的数，当P二2❷3❷5❷7❷13❷17❷31❷67❷127❷257时都是素数(称为默森素数)•其实它只验算了前面的七个。1903年美国数学家科尔作了一次无声的学术报告•他在黑板上先算出267-1,接着又把193707721X761838257287用竖式算了一次,两个结果完全相同，他没有说一句话，就冋到了自己的座位上，会场上响起了暴风雨般的掌声，因为一个反例纠正了人们两百多年的误解。在数学教学中，恰时恰当的运用反例，不仅可以加深学生对数学概念❷性质❷法则和定理的理解，而且可以培养学生的思维品质。本文试从以下几个方面略陈浅见。一❷利用反例培

3、养学生思维的深刻性在教学中，我们应重视对学生基础知识❷基本技能的培养。基础知识教学主耍是指概念教学和公式❷定理教学等。其中概念是数学最基本的东西，它所描述的是事物的本质属性,是数学的基石。本质不清，不注重基石的作用，就很难真正意义上的理解数学,更不要想用好它或作进一步研究。因此概念教学极为重耍，对概念教学仅从感性认识上理解是远远不够的，必须耍揭示出它的内涵和外延。而对于一些相近易混的概念，通过构造反例，往往能够从反面消除一些容易出现的模糊认识，以便能够史好的理解概念。而对于公式❷定理教学也是如此,学生往往会对一些关键词语认识不足，对所耍求的条件理解不全，这时反例也能

4、起到正面强调所起不到的强化作用。例1:棱柱的定义北师版必修3第…章《简单儿何体》一节中，棱柱是这样定义的:有两个面相互平行，其余各个面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面围成的儿何体叫棱柱。有的同学认为这样的叙述❷嗦，建议改为:有两个面相互平行，其余各个面都是平行四边形”的几何体。要纠正这种认知,给出反例如图1就够了。学生通过这个图形可以深化对棱柱本质特征的认识。例2:函数的定义在北师版必修1《函数》一章中讲到了函数的概念，多数学牛:在刚接触函数概念的时候，认为此概念较抽象，理解较困难，在此利用如下反例便可以加深学生对函数的理解。下列图形是函数

5、图象吗？(y关于x的函数?)图2例3:判断等比数列｛an｝共有3n项，其前n项和为Sn,则Sn,S2n—Sn,S3n—S2n也是等比数列”□对于该命题多数学牛:认为是正确的。此吋我们可以给出如下反例：设数列｛師｝为10—1❷1❷—1010—101❷一1❷1…取n=2,贝uS2二0,S4-S2=0,S6-S4二0,显然不是等比数列。借此我们要强调：“公式、性质本身都很重要，但我们更要注意到它的适用范围”o二、利用反例培养学生的严谨性数学是一门严谨的科学，解决数学问题的思维过程也应是缜密的。教学中我们可以精选反例，加之我们精彩的讲授与学生的积极参与，就能提高学生的认识，

6、激励学生上进的欲望。当然我们也需要引导学生从反例的线索引申开去，创造性的认识反例所反映的一般情形，独立发表自己的见解。例4:多个单调区间中是用“和”还是用“U”连接教学中我们发现对于一个函数的多个单调区间求出后，总结时到底用“和”还是用连接，是学生最易犯的错误之一。要纠正这种问题，请看下面的反例：我们知道函数f(x)二■在0)和(0,+8)上分别是减函数，但不能说在定义域(-°°,0)U(0,+8)上是减函数。假如说函数f(x)二■在定义域(-8,0)U(0,+8)上为减函数，依据函数单调性的定义知，在定义域(-8,0)U(0,+oo)任意取xl,x2,且xl

7、,当xlW(-8,0),x2W(0,+8)时,应有f(xl)>f(x2),而事实上f(xl)