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1、浅析分式方程的根【摘要】分式方程的根分增根问题、无解问题与有唯一解问题，它们既有区别，乂有联系，容易混淆。对于分式方程的根的各种问题，既要根据题意多角度、全方位地进行宏观分析，又要进行精细化的微观计算。【关键词】分式方程增根问题一解问题分式方程的根分增根问题、无解问题与有唯一解问题，它们既有区别,乂有联系，容易混淆。对于初中学生来说是一个比较难以理解和解答的问题，为此，笔者根据多年在教学实践屮的肤浅理解，提出以下几点思考，帮助广大师生理清一下思路，为解决类似问题提供一定的参考，恳请同仁斧正。一、分式方程的无解与无实数解问题1・分式
2、方程的无解问题分式方程无解包含下列两种情况：(1)去分母后的整式方程无解例1解方程xx-l-l=3x-l.【解析】该方程去分母后得到的整式方程是x-(x-l)二3,而此整式方程木身就无解，因此原分式方程也无解了。例2当3为何值时，关于x的方程xx-7-l=ax-7无解.【解析】该方程去分母后得到的整式方程是x-(x-7)p,即0?xf-7,①当旷7时，整式方程中x可取的任意实数，此时原分式方程的解是xH7；②当&H7时，整式方程中的x不存在，因此原分式方程无解。故当eiH7值时，关于x的方程xx-7-l=ax-7无解。(1)去分母
3、示的整式方程虽然有解，但整式方程的解恰好是原分式方程的增根。例3解方程xxTT二3(x~l)(x+2).【解析】该方程去分母后得到的整式方程的解是x=l,但X二1却是原分式方程的增根.例4若关于x的方程xx-3-2=3ax-3无解，则且二.【解析】该方程去分母后得到的整式方程是x-2(x-3)=3a,即x二6-3&,若原分式方程无解，则x二3,于是有6-3a=3,a=1.(2)去分母后的整式方程可能无解，也可能虽有解但却是原方式方程的增根例5若关于x的方程mx-2x+l=2无解,则m二.【解析】该方程去分母后得到的整式方程是(mx
4、-2)二2(x+l),即(旷2)x=4,若原分式方程无解，则有①m-2二0；或②m-2H0,且4m-2二T.in=2或山二一2・例6若关于x的方程x+lx+2-xx-1二ax+2(x~l)(x+2)无解,求a的值.【解析】该方程去分母后得到的整式方程是(x+1)(x-l)-X(x+2)=(ax+2),即(a+2)x二一3,若关于x的方程x+lx+2-xxT二且x+2(xT)(x+2)无解，则有①a+2二0；或②a+2H0,且-3&+2二-2；或③a+2H0,且-3a+2=l.・a=-2或3二一12或3二一5・2•分式方程的无实数
5、解问题分式方程无实数解，包含两种情况：①原分式方程无解；②去分母后的整式方程无实数解.例7若关于x的方程2kx+2-x-lx2+2x=kx+lx无实数解，求k的取值范围.【解析】该方程去分母后得到的整式方程是2kx-(x-1)二(kx+l)(x+2),即kx2+2x+l二0(a).%1若20,则(a)方程有x二-12,而x二-12却是原分式方程的实数解：故kHO.%1若kHO,要使原分式方程无实数解，则需(a)方程无实数解，于是有A=22-4k?ll.综上所述：当k〉l时关于x的方程2kx+2-x-lx2+2x二kx+lx无实数解
6、.二、分式方程的增根问题3•确定分式方程的增根此类问题，不能只根据最简公分母为0就轻率地得出增根，必须根据增根的定义确定，亦即既是去分母后的整式方程的解又使最简公分母为0者方为原方程的增根。例8试确定方程2(x~2)(x~3)-lx_2=2x_3的增根。【解析】若仅仅根据最简公分母为0得到该方程的增根是2或3,那就大错特错了。事实上该方程去分母后得到的整式方程是2-(x-3)=2(x-2),即3x=9,・・・x二3.而x二3不是原方程的根，故原方程的增根是x=3・(根木不存在增根2!!)2•根据分式方程有增根，确定参系数的取值情况
7、例9若方程xx-4二2+ax-4有增根，求且的值.【解析】该方程去分母后得到的整式方程是x=2(x-4)+a,即x=8-a,若方程xx-4二2+ax-4有增根，则8-a=4,a=4・例10若方程x-ax-l-3x二1有增根，求a的值.【解析】该方程去分母后得到的整式方程是x(x-a)-3(x-l)=x(x-l),即(a+2)x=3,若方程x-ax-l-3x=l有增根,则增根可能是1或0.当增根是1时,则有(a+2)?1二3,・・・a=l；当增根是0时，则有(a+2)?0二3,・•・&不存在.故当a=l时方程x-ax-l-3x=l有
8、增根.例H若方程2xx+l-mx2+x二x+lx有增根，求m的值.【解析】该方程去分母后得到的整式方程是2x?x-hi二(x+1)2,即x2-2x-m-l=0,若方程2xx+l-inx2+x二x+lx有增根，则增根可能是-1或0.当增根是-1时，则
