高一数学中函数与方程常见题型.doc

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1、高一数学中函数与方程常见题型高一数学《函数与方程》这一节中，需要重点引导学生学习函数的零点、方程的根和两函数图象交点之间的等价转化思想和数形结合思想．常与函数的单调性、奇偶性、周期性结合研究方程根的分布区间或者零点的存在性、零点的个数问题等；并通过对方程根的分布情况的研究，综合考查不等式的求解、函数的图象与性质等问题。一、确定函数零点所在的区间，常用的方法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．例1：函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)．A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解：依题意

2、知f(－2)＝－6＜0，f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，f(1)＞0，f(2)＞0，f(－1)·f(0)＜0，因此在区间(－1,0)上一定有零点．例2：已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．解：函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上递增，由已知条件f(0)f(1)<0，即a(a＋2)<0，解得－2

3、用方法有三种：(1)解方程法；(2)零点存在性定理法：利用该定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质才能确定函数有多少个零点；(3)数形结合法：画出两个函数的图象，看其交点的个数．例1：函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为(　　)．A．4B．5C．6D．7解：设xcosx2＝0，则x＝0或x2＝kπ＋，又x∈[0,4]，因此x＝(k＝0,1,2,3,4)，共有6个零点。例2：设函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c(a>0，a，c∈R)．函数f

4、(x)在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解：①若f(0)·f(1)＝c·(a－c)<0，则c<0，或a0，f(1)＝a－c>0，则a>c>0.因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴是x＝.而f＝<0，所以函数f(x)在区间和内各有一个零点，故函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点．例3：定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)＋1，且x∈[0,1]时，f(x)＝4x，x∈(1,2)时，f(x)＝，则函数f(x)

5、的零点个数为________．解：由题意可以画出函数在[0,2)上的图象，又因为f(x＋2)＝f(x)＋1，即当自变量每增加2，其函数值增加1，由此规律可以把函数在[－8,0)内的图象画出来，进行观察，可知零点有5个．三、根据函数零点的存在情况，求参数的值，已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形

6、结合求解．例1：若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．解：　当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点.例2：设函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c(a>0，a，c∈R)．(1)设a>c>0.若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范围；解：

7、因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴为x＝，由条件a>c>0，得2a>a＋c，故<＝<1，即二次函数f(x)的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞)内是增函数．若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，则f(x)min＝f(1)>c2－2c＋a，即a－c>c2－2c＋a，得c2－c<0，所以00)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)

8、－f(x)＝0有两个相异实根．解：（1）作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图：可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.∴m的取值范围是[2e，＋∞)．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同