立体几何专题二含答案.doc

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1、立体几何专题二含答案一、1.异面直线所成角的向量公式=两异面直线a、b的方向向量分别为m和n.当m与n的夹角不大于90°时，异面直线a、b所成的角θ与m和n的夹角相等；当m与n的夹角大于90°时，直线a、b所成的角θ与m和n的夹角互补.所以直线a、b所成的角θ的余弦值为.2.直线与平面所成角的向量公式=直线a的方向向量和平面α的法向量分别为m和n，若m与n的夹角不大于90°时，直线a与平面α所成的角等于m与n的夹角的余角；若m与n的夹角大于90°时，直线a与平面α所成的角等于m与n的夹角的补角的余角，所以直线a的方

2、向向量和平面α所成的角的正弦值为3.求二面角的大小=（1）若AB、CD分别是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角（如图①）.(2)设n1,n2分别是二面角αlβ的两个面α,β的法向量，则向量n1与n2的夹角（或其补角）的大小就是二面角的平面角的大小（如图②③）.4.空间中两点间的距离若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，则dAB=

3、AB

4、=.求P点到平面α的距离：

5、PO

6、=利用空间向量解决平行与垂直问题（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向

7、向量是共线向量.（2）证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.（3）证明面面平行的方法：①转化为线线平行、线面平行处理；②证明这两个平面的法向量是共线向量.（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直.（5）证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；②证明直线与平面内的两个不共线的向量互垂直.（6）证明面面垂直的方法：①转化为线

8、线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直.（7）向量法解决立体几何问题的“三步曲”：①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题.②通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题.③把向量运算的结果“翻译”成相应的几何意义，即回归到图形问题.●利用空间向量求空间的距离立体几何中涉及的距离问题较多，如两点距离，点与线的距离，点、线与面的距离，两异面直线的距离等.若用向量来处理这类问题，则思路简单、解法固定.（1）利用

9、

10、

11、=

12、

13、=·可以求解有关距离问题；若A(x1,y1z1),B(x2,y2,z2)则

14、AB

15、=

16、

17、=.（2）设e是直线l上的一个单位方向向量，线段AB在l上的投影是A′B′，则有

18、A′B′

19、=

20、·e

21、，由此可求点到线、点到面的距离.（3）以法向量求P点到平面α的距离：

22、PO

23、=(O为垂足，M为斜足，n为平面α的法向量).如图①所示，点P为平面外一点，点A为平面内任一点，平面的法向量为n，过点P作平面α的垂线PO，记PA和平面α所成的角为θ，则点P到平面的距离d=

24、

25、=

26、

27、·

28、cos〈n,〉

29、=二、典型例题1．(201

30、0年陕西八校联考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为(　　)A.B.D.解析：选B.设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝，故选B.2.(原创题)如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝3，M为AC1与CA1的交点，则M点的坐标为__________．解析：由长方体的几何性质得，M为AC1的中点，在所

31、给的坐标系中，A(0,0,0)，C1(2,3,2)，∴中点M的坐标为(1，，1)．答案：(1，，1)3．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝(　　)A．2　B．－4C．4D．－2解析：选C.∵α∥β，∴(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)，∴－2＝λ，k＝－2λ，∴k＝4.4．(原创题)如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(0,2,1)，b＝(，，)，那么这条斜线与平面的夹角是(　　)A．90°B．60°C．45°D．30°解析：选D.c

32、osθ＝＝，因此a与b的夹角为30°.5．(2008年高考福建卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)A.　B.C.　D.解析：选D.以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0