线性代数第一章习题集.doc

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1、一.判断题（正确打√，错误打×）1.阶行列式的展开式中含有的项数为.(×)正确答案：解答：方法1因为含有的项的一般形式是，其中是级全排列的全体，所以共有项.方法2由行列式展开定理，而中不再含有，而共有项，所以含有的项数是.注意：含有任何元素的项数都是.2.若阶行列式中每行元素之和均为零，则等于零.(√)解答：将中的列都加到第一列，则行列式中有一列元素全为零，所以等于零.3..(√)解答：方法1按第一列展开.方法2交换2，4列，再交换2，4行=.方法3Laplace展开定理：设在行列式中任意取定了个行，由这行元素所组成的一切阶子式与它们的代数余子式的

2、乘积之和等于行列式。所以按2，3行展开=.4.若阶行列式满足,,则.(√)解答：由行列式展开定理.5.若阶行列式的展开式中每一项都不为零,则.(×)解答：反例如.二.单项选择题1.方程的根为（B）.（A）；（B）；（C）；（D）.解答：（范德蒙行列式），所以根为.2.已知,那么（D）.（A）；（B）；(C)；（D）.解答：。3.已知齐次线性方程组仅有零解，则（A）.（A）且；（B）或；（C）；（D）.解答：因为仅有零解，所以，所以且.4.下列行列式中不一定等于的是（B）.（A）；（B）；（C）；（D）.解答：注意=；而==.5.阶行列式展开式中项的

3、符号为(D).（A）-；（B）+；（C）；（D）.三.填空题1.已知方程组有唯一解,且,那么4.解答：系数行列式，而,所以,所以.2.已知4阶行列式中第3行的元素依次为-1，0，2，4，第4行的余子式依次为10，5,,2则9.解答：因为，所以.3.若为阶范德蒙行列式,是代数余子式，则.解答：.4.120.解答：方法1.方法2.5.设，则的展开式中的系数为-1.解答：的展开式中有一项是.或者按第一行展开：，由此可以看出的系数为-1.四.计算题1.已知，计算.解答：方法1.方法2，所以.方法3.2.计算行列式3.计算行列式解答：.4.计算行列式解答：（

4、行和相等）5.计算行列式解答：6.计算行列式解答：（行和相等）7.计算行列式.解答：当时：；当时：得到五．证明题1.设，证明：存在使得.证明：因为，，所以，而在上连续，在可导，所以由Rolle定理知存在使得.2.证明当时，行列式.证明：3..证明：方法一设，将其按第4例展开得到，由于，且，由方程根与系数的关系知，而，于是，所以.注，该方法具有一般性，利用它可以证明.方法二六..解答想法：三个平面相交于一点，第四个平面过该点：方程组有唯一解，当且仅当，第四个平面过点当且仅当，所以，于是，即，所以是并且.