数学第二册 教学课件 作者 吕保献 第十一章　立 体 几 何.pptx

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1、第十一章　立体几何在平面几何里,我们学习了一些平面图形的画法和性质。在日常工作、生产实际和科学实验中,还常常会接触到空间图形,因此,还需要了解空间图形的有关知识。本章主要学习空间图形的画法、性质和有关运算知识。第一节　平面及其性质一、平面及其表示法常见的桌面、黑板面、广场的地面、平静的水面等,都呈现出平面的形象。而几何里所说的平面是没有厚度的,它广阔无边,向四周无限延展。由于平面的广阔性,在画平面时也只能用平面的一部分来代表平面。当以适当的角度和适当的距离去观察桌面、黑板面、地板时,觉得它们很像平行四边形。因此,通常用平行四边形来表示平面,

2、并记作希腊字母α、β、γ等,写在表示平面的平行四边形的一个顶角的内部;但也可用表示平行四边形顶点的四个字母或对角的两个字母来表示。如图11-1中所示的平面可记作平面α、平面β或平面ABCD、平面AC等。图　11-1二、水平放置的平面图形的画法把空间图形画在纸上,就是用一个平面图形表示空间图形。这样的平面图形不是空间图形的真实形状,而是它的直观图。要画空间图形的直观图,首先应学会画水平放置的平面图形的直观图。下面举例说明平面图形直观图的画法。例1    画水平放置的△ABC的直观图。画法:(1)在△ABC中以AB所在的直线为x轴,以A点为坐标

3、原点作y轴,作△ABC的高CD。画对应轴x'轴y'轴,使∠x'A'y'=45°(2)在x'轴上,取点D'、B',使A'D'=AD,A'B'=AB。过D'点在轴上方作D'C'平行于y'轴,使得D'C'=DC。(3)连接A'C'和B'C'。所得的三角形A'B'C'就是三角形ABC的直观图,如图11-2所示。图    11-2上面画直观图的方法叫做斜二测画法。它的规则是:1)在已知图形中取互相垂直的Ox、Oy轴。画直观图时,把它们画成对应的O'x'、O'y'轴,且使∠x'O'y'=45°。2)在已知图形中平行于Ox轴或Oy轴的线段,在直观图中分别

4、画成平行于O'x'轴或O'y'轴的线段。3)在已知图形中平行于Ox轴的线段,在直观图中保持原长不变,平行于Oy轴的线段,长度为原长的一半。例2    画正六边形的直观图。画法:(1)在已知正六边形ABCDEF中取对角线AD为x轴,取对称轴HG为y轴,O为坐标原点。画出对应的x‘轴和y’轴,使∠x‘O’y‘=45°。(2)以O'为中心在x'轴上取A'D'=AD,在y'轴取H'G'=HG,以H'为中点画B'C'∥A'D',并使B'C'=BC,以G'为中点画E'F'∥A'D',并使E'F'=EF。(3)连结A'B'、C'D'、D'E'、F'A'。

5、所得的六边形A'B'C'D'E'F'就是水平放置的正六边形ABCDEF的直观图,如图11-3所示。图    11-3三、平面的基本性质人们在长期的生产实践中总结出了平面的基本性质,这里将把它作为三条公理使用,它们是研究空间直线、平面的位置关系的理论基础。图　11-4的所有点都在该平面内(如图11-4)。这时,称直线l在平面α内,或平面α经过直线l。公理2    如果两个平面有一个公共点,那么它们相交于经过这点的一条直线(如图11-5)。公理1    如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上图　11-5公理3    经过不在同一直线上的

6、三点可以作一个平面,并且只可以作一个平面(如图11-6)。图　11-6图　11-7由于点是构成直线和平面的最基本的元素,因此直线和平面都可以看做是点的集合,它们互相之间的关系可以用集合之间的关系来表示,规定如下:公理3有以下推论:推论1    一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面(如图11-7a))推论2    两条相交的直线可以确定一个平面(如图11-7(b))推论3    两条平行直线可以确定一个平面(如图11-7c))点A在直线l上,记作A∈l;点A不在直线l上,记作A∉l;点A在平面α内,记作A∈α;直线l在平面α内,记作l⊂α

7、或α⊃l;直线l与平面α交于点N,记作l∩α=N;直线l与平面α没有交点,记作l∩α=;平面α与平面β相交于直线l,记作α∩β=l。例如,公理1可以用集合符号表示成:如果点A∈α,点B∈α,则直线AB⊂α。例3    求证两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内。已知    如图11-8所示,直线AB、BC、CA两两相交,其交点分别为A、B、C。图　11-8求证    直线AB,BC,CA共面。证明    因为,直线AB∩AC=A,所以,直线AB和AC确定一个平面α(推论2),因为,B∈AB,C∈AC,所以,B∈α,C∈α,所以,BC

8、⊂α(公理1)。所以,直线AB、BC、AC都在平面α内,即它们共面。一、两条直线的位置关系图　11-9第二节　直线与直线的位置关系定义    不在同一平面内的两条直线叫做异面直线