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《数学第一册 教学课件 作者 张黎黎 第四章 任意角的三角函数.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章 任意角的三角函数语第一节 角的概念的推广 弧度制一、角的概念的推广我们在初中数学学习中已经知道,角可以看作是由一条射线绕着它的端点从初始位置(始边)旋转到最终位置(终边)而成的(如图4-1)。以前,我们接触到的是0°到360°的角。但是在数学研究、科学实验、实际生活和生产中,我们常常会遇到大于360°的角。图 4-1例如,用螺纹扳手拧紧螺帽,当扳手(如图4-2)绕着支点逆时针旋转一周以后,继续旋转就得到了一个大于360°的角。如果继续旋转,就得到更大的角。我们也可以顺时针方向旋转扳手,拧松螺帽。为了区别不同旋转方向所形成的角,习惯上规定
2、:射线绕着端点逆时针方向旋转所形成的角为正角,顺时针方向旋转所形成的角为负角。特别地,当一条射线没有旋转时,我们认为也形成了一个角,这个角叫做零角,它的大小是0°。这样,角的概念包含了:0°的角、任意大小的正角、任意大小的负角。例1 作下列各角:405°、140°、-30°、-510°(如图4-3)。为了研究方便,我们把角和直角坐标系联系起来,通常使角的顶点与坐标系的原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合。那么角的终边所在的象限就叫做这个角所在的象限,或者说这个角是第几象限的角。例如图4-3中的4个角405°、140°、-30°、-510°
3、放在直角坐标系中,可以看出分别是第一象限角、第二象限角、第四象限角、第三象限角。特别地,0°、90°、270°、360°这些终边在坐标轴上的角,我们规定不属于任何象限的角。图 4-4从角的形成过程中,可以看到与某一个角α的终边相同的角有无数个,它们与α都相差360°的整数倍。如图4-4所示,30°、390°、-330°的角终边都相同,它们的大小相差360°的整数倍。因此,所有与角α有相同终边的角(包括α本身)可以表示为例2 把下列各角化成k×360°+α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式,并指出是哪一象限角。(1)410°;(2)101
4、0°;(3)-350°;(4)-1080°。解 (1)410°=360°+50°因为50°是第一象限角,所以410°是第一象限角。(2)由于1010°除以360°,得商为2,余数为290°,即 1010°=2×360°+290°因为290°是第四象限角,所以1010°是第四象限角。(3)-350°=-360°+10°因为10°是第一象限角,所以-350°是第一象限角。(4)-1080°=-360°×3+0°因为0°不属于任何象限,所以-1080°不是象限角。二、弧度制我们已经学习用度、分、秒作为角的度量单位,这种度量的制度叫做角度制。
5、在数学和其他的科学技术工作中,还用到另一种度量角的制度叫做弧度制。我们知道1°的角的大小,是一个圆周角的,那么,1弧度的角有多大?角度制和弧度制相互之间有什么关系?现在我们就一起来研究。1.弧度制有一个半径为r的圆,我们在圆周上的任一点A处,取的长等于半径r(如图4-5),所对的圆心角∠AOB就叫做1弧度的角,也就是说,长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度角,弧度的单位符号是rad。由于圆的周长是2πr,所以周角是2πrad的角;在角度制里,1周角是360°,因此可以得到:图 4-5360°=2πrad180°=πrad1°=rad
6、≈0.017453rad1rad=°≈57.296°≈57°17'45″角度制与弧度制是采用不同单位的角的度量制,利用上面的关系式,就可以进行度与弧度的换算,例如35°=35×rad≈0.610865rad3rad=3×°≈171.887°≈171°53'13.2″为了方便计算,对于一些特殊角的度数和弧度数的对应关系列表如下:用弧度制表示角的大小时,通常省略“弧度”两字。例如∠AOB=1就表示∠AOB=1rad;sin2表示2rad的角的正弦。如果α用弧度制表示,那么所有与角α有相同终边的角可以用式子2kπ+α(k∈Z)表示。例3 如果角
7、α在第一象限角,试讨论角所在的象限。解法一 因为α在第一象限,即2kπ<α<2kπ+(k∈Z),所以当k是偶数时,设k=2n(n∈Z),那么所以角在第一象限。当k是奇数时,设k=2n+1(n∈Z),那么所以角在第三象限。应数字,相应数字出现在原坐标上的象限即为要求判断角所在的象限。例如,本题α在第一象限,图中标有“1”的数字在第一、三象限,即角在第一、三象限。解法二 本题还可以用图解的方法方便而直接地得出结论,先画出直角坐标,分别将1至4象限一分为二,按逆时针方向,顺序标上象限号,如图4-6所示;当α在第几象限时,在图中寻找相图 4-6如
8、图4-5所示,因为1rad的圆心角所对的弧长等于R,所以角α所对的弧长l等于αR。设弧长为l,所对的圆心角为α(单位:弧度),半径为R,那么弧长的计算
