数学第一册 教学课件 作者 张黎黎 第三章　指数函数与对数函数.pptx

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1、第三章　指数函数与对数函数第一节n次根式与分数指数幂在初中我们已经学过整数指数幂的概念和运算,但在解决实际问题中经常要用到分数指数幂的概念,在这里我们给出分数指数幂的概念及其运算法则。我们已知道整数指数幂的定义:整数指数幂:=an(n∈N)零指数幂:a0=1    (a≠0)负指数幂:a-p=(a≠0,且p∈N)分数指数幂的定义如下:定义=(m,n∈N,a>0),即正数的正分数指数幂,表示一个根式,它的根指数是分数指数的分母,根底数的幂指数是分数指数的分子。例如====4记号理解为的倒数,即==(m,n∈N,a>0)。又如===根据

2、定义,分数指数幂可化为根式;反过来,一个根式也可化为分数指数幂的形式,例如:可见我们常见的n次根式(a>0,n∈N)的分数指数幂的形式为(a>0,n∈N)分数指数幂的运算法则与整数指数幂的运算法则完全相同,即例1    化简2·-·。解    原式=2×-··=-x-1·例2    化简。解    原式=···=·=·第二节　指数函数与幂函数一、指数函数我们先看一个实际问题,某厂原来产量为1万吨,从今年起每年产量比上一年增长7%,那么x年后的年产量y(万吨)为即y=1.07x我们把形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数,

3、它的定义域是实数集R。上面例子中y=1.07x就是指数函数,由于x只能取正实数,所以它的定义域是R+。又如:函数y=2x,y=,y=10x都是指数函数。它们的定义域都为实数集R。接下来我们研究一下指数函数的图像和性质:在同一直角坐标系里,画指数函数y=2x,y=,y=10x的图像。这三个函数的定义域都为(-∞,+∞),下面分别列出x,y的对应值表:用描点法画出图像如图3-1。图　3-1通过观察容易得出,图像有如下特点:(1)图像都在x轴的上方;(2)图像都通过点(0,1);(3)y=2x和y=10x在(-∞,+∞)上是增函数,y=在

4、(-∞,+∞)上是减函数。用类似方法可以画出指数函数y=ax分别在a>1和01时,1)指数函数y=ax的函数值恒大于零;2)指数函数y=ax的图像经过(0,1);3)指数函数y=ax,当x>0时y>1;当x<0时01)在(-∞,+∞)上是增函数。(2)当01.4,所以>31.4。(2)因为指数函数y=0.

5、7x在(-∞,+∞)上是减函数,又>,所以0.<0.。例1    比较下列各组里两个值的大小:二、幂函数我们以前已学过函数y=x,y=x2,y=x3及y=x-1的基本性质,我们把形如y=xa的函数叫做幂函数,其中指数a为常量,它可以为任何实数。常见的幂函数有y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x-2,y=,y=等。幂函数y=xa的定义域是随a而确定的。例如:幂函数y=x2的定义域为(-∞,+∞),y=x-2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=的定义域为(0,+∞)。1.当a>0时我们首先讨论幂函数y=x,y=x2,y=

6、x3,y=的图像和性质。函数y=x的图像是一条过原点的直线,如图3-2所示。函数y=x2的图像是顶点在原点、开口向上的一条抛物线,如图2-6所示。函数y=x3的定义域为(-∞,+∞),并且容易得出它是一个奇函数,我们通过列表采用描点画出它的图像,如图3-3所示。函数y=的定义域为[0,+∞),通过列表采用描点画出它的图像,如图3-4所示。图    3-4图像都通过原点和点(1,1);在区间(0,+∞)内都为递增函数;y=x和y=x3的图像关于原点对称,为奇函数;y=x2的图像关于y轴对称,为偶函数;y=的图像既不关于原点对称,也不关

7、于y轴对称,为非奇非偶函数。用类似方法,我们能归纳出幂函数y=xa当a>0时的共同性质:(1)图像经过原点和点(1,1);(2)幂函数y=xa(a>0)在(0,+∞)内单调递增。2.当a<0时我们首先讨论幂函数y=x-1,y=x-2,y=的图像和性质:y=x-1就是反比例函数,它的图像是一条经过点(1,1)的双曲线,如图2-8所示。函数y=x-2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),并且容易得出它是一个偶函数。通过列表采用描点画出它的图像,如图3-5所示。函数y=的定义域为(0,+8),通过列表采用描点法画出它的图像,如图3-6所示

8、。通过对上述三个幂函数观察,不难得出它们都有如下性质:图像都通过原点和点(1,1);在区间(0,+∞)内单调递增;y=x-1的图像关于原点对称,为奇函数;y=x-2的图像关于y轴对称,为偶函数;y=的图像既不关于原点对称,也不关于y轴