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1、平面向量的数乘运算知识点一：向量数乘运算：⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．⑵运算律：①；②；③．⑶坐标运算：设，则．知识点二：向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．知识点三：平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）知识点四：分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．（当知识点五：平面向量的数量积：⑴．零
2、向量与任一向量的数量积为．⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．⑶运算律：①；②；③．6⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．若，则，或．设，，则．设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．数学平面向量数量积的坐标表示同步达纲【同步达纲练习】一、选择题.1.下列各向量中，与=(3,2)垂直的向量是()A.=(3,-2)B.=(2,3)C.=(-4,6)D.=(-3,2)2.若=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影为()A.B.C.D.3.已知向量=(3,-2),=(m+1,1-m)，若⊥，则m的值为()A.B.-C.-1D.14.已知向量｜｜=5,且=(
3、3,x-1),x∈N,与向量垂直的单位向量是()A.(，-)B.(-，)C.(-，)或(，-)D.(，-)或(-，)5.若=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ)，则()A.⊥B.∥C.(+)⊥(-)D.(+)∥(-)6.已知=(1,),=(+1,-1),则与的夹角为()6A.B.C.D.7.以A(2，5)，B(5，2)，C(10，7)为顶点的三角形的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.已知=(-2,-1),=(λ,1).若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A.(-，+∞)B.(2，+∞)C.(-，+∞)D.(-∞,-)9.
4、已知=(x1,y1),=(x2,y2)，则在下列各结论中为·=0的充要条件的是()①=或=或⊥②⊥③x1y1+x2y2=0④x1x2+y1y2=0A.①③B.②③C.③④D.①④10.已知与的夹角的余弦为-，则，的坐标可以为()A.(4，3)，(-12，5)B.(3，4)，(5，12)C.(-3，4)，(5，-12)D.(-3，4)，(-5，12)二、填空题1.已知=(4,3),=(-1,2)，则与的夹角为.2.已知=(3,-5),=(-4,-2),则·=.3.顺次连接A(3，-1)，B(1，2)，C(-1，1)，D(3，-5)的四边形是.4.以原点和点A(5，2)为顶点作等腰直角三角
5、形OAB，∠B=90°，则向量为.5.已知向量=(1,2),=(x,1),分别求出当+2与2-平行和垂直时实数x的值.6.已知=(2,1),=(-1,-1),=+k,=+,与的夹角是，则实数k的值.三、解答题1.已知=(1,-2),=(4,3)求(1)2(2)2(3)·(4)(3+2)·(-3)(5)与的夹角(6)在上的投影62.已知：点A(0，3)，B(6，3)，AD⊥OB，垂足为D，求点D的坐标.3.已知A(-2，3)，正方形OABC，求点C、点B的坐标.【素质优化训练】1.已知=(-1,0),=(1,1),=λ+μ(λ、μ∈R)，若⊥，且｜｜=2,试求λ、μ的值及向量c的坐标.2
6、.若=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ)，用｜k+｜=｜-k｜(k∈R，k≠0),试用k表示·.3.已知=(-3,-2),=(-4,k),若(5-)·(-3)=-55,求实数k的值.4.求与向量=(,-1)和=(1,)的夹角相等，且模为的向量的坐标.5.已知矩形ABCD的相对顶点A(0，-1)，C(2，5)，且顶点B到两坐标轴的距离相等，求顶点D的坐标.【生活实际运用】6如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明(1)PA=EF(2)PA⊥EF证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，｜｜=λ,则A(0，1)，P(λ，λ)，E(1
7、，λ)，F(λ，0)∴=(-λ,1-λ),=(λ-1,-λ)(1)｜｜2=(-λ)2+(1-λ)2=λ2-λ+1｜｜2=(λ-1)2+(-λ)2=λ2-λ+1∴｜｜2=｜｜2,故PA=EF(2)·=(-λ)(λ-1)+(1-λ)(-λ)=0∴⊥∴PA⊥EF.【知识探究学习】已知A(0，a),B(0,b),(0＜a＜b)，在x轴的正半轴上求点C，使∠ACB最大，并求出最大值.解，设C(x,0)(x＞0)则=(-x,a),=(-x,b)则·=x2+
